Appunti Algebra lineare e geometria

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Author: LucaBBBB

Revisionato il 27/07/2026

di LucaBBBB

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Appunti degli argomenti trattati nel corso di Algebra Lineare e Geometria: Algebra dei vettori e delle matrici, sistemi lineari, spazi e sottospazi vettoriali, basi e insieme di generatori, …

Esame Algebra

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Venturini Sergio

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2022-2023

46 pagine

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Appunti esame

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Algebra dei vettori e delle matrici

Somma tra vettori

v_1	+	w_1	=	v_1 + w_1
v_2	+	w_2	=	v_2 + w_2
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
v_n	+	w_n	=	v_n + w_n

Prodotto per uno scalare

w_1	\|	k w_1
w_2	\|	k w_2
⋮	\|	⋮
w_n	\|	k w_n

Combinazione lineare

Si dice che un vettore v è combinazione lineare dei vettori v_1,...,v_d se esistono degli scalari t_1,...,t_d ∈ K tali che v = t_1 v_1 + t_2 v_2 + ... + t_d v_d.

Gli scalari t_1,...,t_d si dicono coefficienti della combinazione lineare.

Esempio

[	3	]
[	5	]

È combinazione lineare dei vettori:

[	1	]		[	0	]
[	0	]		[	1	]

Con i coefficienti 3 e 5:

[3 + 5 * 0]

[0 + 5 * 1]

Base canonica

Con base canonica si indica l'insieme ordinato {e_1, e_2,..., e_n} di Kⁿ.

I vettori e_1, e_2,..., e_n sono i vettori colonna che hanno l'i-esimo elemento = 1 e il resto nulli.

Esempio vettori e combinazione lineare dei vettori della base canonica. Infatti:

⋯

⋮

⋯

⋮

⋯

⋮

⋯

Dipendenza / indipendenza lineare

Verificare che 2 vettori sono linearmente dipendenti o no.

I vettori v_1, v_2,..., v_n si dicono linearmente dipendenti se esistono scalari non nulli. Es. 3,2,1, 4,3, 5.

Si dicono linearmente indipendenti se l'unico scalare che annulla la loro combinazione è θ = 0.

Algebra dei vettori e delle matrici

Somma tra vettori

	[ v₁ ]		[ w₁ ]		[ v₁ + w₁ ]
V =	[ v₂ ]	+	[ w₂ ]	=	[ v₂ + w₂ ]
	[ ... ]		[ ... ]		[ ... ]
	[ vₙ ]		[ wₙ ]		[ vₙ + wₙ ]

Prodotto per uno scalare

K	[ v₁ ]		[ Kv₁ ]
K =	[ v₂ ]	=	[ Kv₂ ]
	[ ... ]		[ ... ]
	[ vₙ ]		[ Kvₙ ]

Combinazione lineare

Si dice che un vettore v è combinazione lineare dei vettori v₁,...,v_d se esistono degli scalari t₁,...,t_d ∈ K tali che

	[ v₁ ]
v = t₁	[ v₂ ]	+ t₂	[ ... ]	+ ... + t_d	[ v_d ]

Gli scalari t₁,...,t_d si dicono coefficienti della combinazione lineare.

Esempio

[ 3 ] [ 1 ] [ 0 ]

v = [ 5 ] è combinazione lineare dei vettori: i = [ 0 ] e j = [ 1 ] con i coefficienti 3 e 5:

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