Sottospazi vettoriali
Proposizione
L'insieme S delle soluzioni di un sistema lineare m x n omogeneo Ax=0 è un sottospazio vettoriale di Rn
Dim
0 ∈ S quindi S ≠ ∅
S è chiuso rispetto alla somma perché se x1, x2 sono due soluzioni allora A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = 0 + 0 = 0
S è chiuso rispetto al prodotto perché c ∈ R, se x̄ è una soluzione allora A (c x̄) = c (Ax̄) = 0 c = 0 c x̄ è una soluzione
Proposizione
Span (V1, V2, ... Vk) è un sottospazio vettoriale
Dim
Basta dimostrare come sopra che:
- Chiuso rispetto alla somma
- Chiuso rispetto al prodotto
- 0 ∈ Span (V1, V2, ... Vk)
Sottospazi vettoriali
Proposizione 1
L'insieme S delle soluzioni di un sistema lineare m x n omogeneo Ax=0 è un sottospazio vettoriale di Rn
Dim
0 ∈ S quindi S ≠ ∅
S è chiuso rispetto alle somme perché se x1, x2 sono due soluzioni allora A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = 0 + 0 = 0
S è chiuso rispetto al prodotto perché se c ∈ R e se x̅ è una soluzione allora A(cx̅) = c(Ax̅) = 0 c = 0 cx̅ è una soluzione
Proposizione 2
Span (V1, V2 .... Vk) è un sottospazio vettoriale
Dim
Basta dimostrare come sopra che:
- Chiuso rispetto alla somma
- Chiuso rispetto al prodotto
- 0 ∈ span(V1, V2, ... Vk)
Proposizione
Se V è combinazione lineare di V1, V2 ... Vk allora
Span (V1, V2 ... Vk, V) = Span (V1, V2 ... Vk)
Dim
Ovviamente Span (V1, V2 ... Vk, V) ⊇ Span (V1, V2 ... Vk)
Dimostriamo che Span (V1, V2 ... Vk, V) ⊆ Span (V1, ... Vk
Infatti lo span (V1... Vk) contiene (V1, V2 ... Vk) ma anche V per hp.
Quindi contiene Span (V1, V2 ... Vk, V) che è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene (V1, V2 ... Vk, V).
Proposizione
V1, V2 ... Vk ∈ V sono dipendenti ⇔ almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri
Dim
⇒
Per hp esiste c1V1 + c2V2 + ... + ckVk = 0 con (almeno) ci ≠ 0
Portiamo a destra tutti i termini eccetto ci-esimo.
ciVi = - (c1V1 + c2V2 + .... + ci-1Vi-1 + ... ckVk)
Dividiamo per ci:
→Vi = -1/ci(c1V1 + c2V2 + ... + ci-1Vi-1 + ... + ckVk)
Se →Vi = d1→V1 + d2→V2 + ... + di-1→Vi-1 + ... + dk→Vk allora
→0 = d1→V1 + d2→V2 + ... + di-1→Vi-1 + ... + dk→Vk - →Vi
Spazi vettoriali dei polinomi
R[x] = insieme dei polinomi (reali) nella variabile x
Ogni vettore →v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare di V1, V2, ... Vn
Dim
→V ∈ V si scrive come combinazione lineare di V1, V2, ... Vn perché questi generano V. Supponiamo
→v = a1v1 + a2v2 + ... anvn
→v = b1v1 + b2v2 + ... anvn
Allora →v - →v = (a1-b
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