Appunti Algebra lineare completi

Revisionato il 28/07/2026

di Costas00

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Appunti scritti a mano del corso di Algebra lineare ordinati, con esercizi e definizioni per ogni argomento. Nel corso delle pagine ci sono numerosi esercizi svolti d'esame con dimostrazioni. …

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Tortorelli Vincenzo Maria

Università Università degli Studi di Pisa

A.A. 2019-2020

98 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Algebra lineare

Distanza _{(P, O)} = √ x² + y² + z²

Distanza tra due punti _{(P, Q)} = √ (x_p - x_a)² + (y_q - y_a)² + (z_p - z_a)² = d(PQ)

2x + by + cz + d = 0

(a, b, c) ≠ 0 almeno uno ≠ 0

k (a x + b y + cz + d) = 0 => R ax + k b y + k c z + kd = 0

X = P₀ + t (P₁ - P₀)

P₀ = B ₂ = (u, p, q)

X = P₀ + t v

Una retta è composta da un punto e un vettore

Prodotto scalare: 1/2 v₁ v₂ = |U| |V| · cosθ

Equazioni dei piani che passano per la retta: ⟨ax + by + cz + d = 0 r ⟨x + β y + ∂ z + δ = 0 i piani per r hanno equazione x (ax + b + cz + d) + ∂(lx + ... δ) = 0

X ∈ μ non sono contenuti nulli.

x = β t b vx = Qα + t v

Rette sghembe: non sono nello stesso piano.

Algebra lineare

Distanza _(P,O) = √_{x² + y² + z²}

Distanza tra due punti _(P,Q) = √_{(xp-xa)² + (yq-ya)² + (zp-za)² = d (P,Q)}

2x + by + cz + d = 0

(a,b,c) ≠ 0 almeno uno ≠ 0

k(ax1+ bx2)=0 ⇒ kx + kby + kcz + kd = 0

x = P₀ + t(P₁ - P₀)

P₀ = S (u,p,v,q)

X = P₀ + tv

Una retta è composta da un punto e un vettore

Prodotto scalare: ∤v,w∥ = ∥v∥∥w∥cosα

Equazioni dei piani che passano per la retta: a 2x + b + c2 + d = 0 r {3x1+3by+3c1+3d=0 Rimpianenti per r, hanno equazione x(ax + b + 1c + z + d) = ∥(x +...5) = 0

X e p non sono arbitrati nulli.

x = B₀ + b_v

x = Q₀ + t･w

Rette sghembe: non sono nello stesso piano.

Euclide

Euclide

Per tre punti non allineati passa un piano e uno solo.

Per due punti passa una e una sola retta.

Retta sfera:

Due piani si intersecano in una retta.

x₀u₁=0u₂

P(x,y,z)∈R³

X=α+t (a–α)

Y=β+t (b–β)

Z=γ+t (c–α)

G₀ (a₁ b₁c₁) Q₁ (a₂b₂c₂)

G₂ (a₃b₃c₃)

x–a₀=t(q₁–q₀)+d₀ (q₂–q₀)

du₁x+du₂y+ du₃z+du₀=0

(0 0 0 ω) (0 0 0) (0 0 0)

{ f(x,y,z)=0g(x,y,z)=0

<(x,y,z)–(a,b,c)|>=√x²+y²+z² √a²+b²+c²cosω

cosω={(x–x)₂(a,b,c)}√x²–x² √a²+b²+c²

Esercizio 1

Forma parametrica: P0 + t(P1 - P0) ==(3 + t, 1 - 5t)

X = 3 + t

Y = 1 - 5t

5X + Y = 14

5X + 7Y = 0

Esercizio su R³

P1 (1 -2, 5) P0 (-2, 1 -3)

P0 + t(P1 - P0) ==( X - 2 + 3t , Y -1 - 3t , Z = -3 + 4t )

X - 2 + 3t

Y -1 + 3t

Z - 3 + 4t

X + Y = 14

Y + 3Z = -5

L = x/3 + z/3 -> sostituzione nelle altre due

Forma parametrica dell’insieme AA -> immagine di una funzione f: R -> R³

dim Ker A = q - # = q - c

dimensione q - r + c - q => r = c

Z = 121. _Z/ r = 121 - cos Θ _i sen Θ applicare lineare_V : V ➔ W dim V ≥ dim W

∀ _V w _W

∀ v e W ∃ ! unico v

Teorema sugli equivalenti

A è invertibile se M (w , v)
A ℝ ℚ^-1 è invertibile A è nullivana
Le colonne di A sono indipendenti
Le righe

AB = I¹

A IX = P_τ X_r

X = Q_τ + w_primo+ ω_secondo

X = b_rit + 2sw

n_s = X = P_τ X_r + 2sw → piano secante per rn_s = X = Q_τ X_σ + 2sw → piano secante per s

Proiezione ortogonale su un piano

Si prenda un punto nello spazio e si tracci una sola retta perpendicolare al piano.

P è l'intersezione con π della retta ρ perpendicolare a π

Proiezione_p (v₁ + v₂) = pro (v₁) + pro (v₂)

pro (λx) = λ pro (x) + P₂ - P₀ + P₁ + P₀

Prodotto scalare

< v, w > = ||v|| ||w|| cos θ = aa'+bb'+c

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