Analisi matematica 1 – Limiti, derivate e grafici di funzioni (A.A. 2026/2027)

UNIVERSITÀ / POLITECNICO

Facoltà di Ingegneria / Scienze Matematiche

ANALISI MATEMATICA 1

A.A. 2026/2027

Limiti, derivate e grafici di funzioni

Argomenti trattati

• Limiti di funzioni reali di una variabile reale

• Continuità e classificazione delle discontinuità

• Calcolo differenziale: derivate e teoremi fondamentali

• Studio completo del grafico di una funzione

• Esempi dettagliati: polinomi, razionali, esponenziali,

logaritmiche e trigonometriche

Materiale didattico per la preparazione all’esame

Versione aggiornata – Ottobre 2026

Analisi Matematica 1 – 2026/2027 Limiti, derivate e grafici

Indice

1. Limiti di funzioni .................................. 3

1.1 Definizione e primi esempi ..................... 3

1.2 Limiti destri e sinistri ....................... 5

1.3 Teoremi fondamentali sui limiti ................ 6

1.4 Forme indeterminate e limiti notevoli .......... 8

1.5 Asintoti ....................................... 10

2. Continuità .......................................... 13

2.1 Definizione e proprietà ........................ 13

2.2 Classificazione delle discontinuità ............ 14

2.3 Teoremi sulle funzioni continue ................ 16

3. Derivate ............................................ 17

3.1 Definizione e significato geometrico ........... 17

3.2 Regole di derivazione .......................... 19

3.3 Derivate delle funzioni elementari ............. 20

3.4 Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy ............ 22

3.5 Derivata seconda e convessità .................. 24

4. Studio di funzione .................................. 25

4.1 Schema generale ................................ 25

4.2 Funzioni polinomiali ........................... 26

4.3 Funzioni razionali ............................. 28

4.4 Funzioni esponenziali e logaritmiche ........... 30

4.5 Funzioni trigonometriche e composte ............ 32

5. Esercizi riassuntivi e consigli ..................... 34

Bibliografia essenziale ................................ 36

A.A. 2026/2027 — 2 — Appunti didattici

Analisi Matematica 1 – 2026/2027 Limiti, derivate e grafici

1. Limiti di funzioni

Il concetto di limite è il fondamento dell’analisi matematica. Senza di esso non esisterebbero né la continuità

né la derivata. In questo capitolo formalizziamo l’idea intuitiva di “avvicinarsi” a un valore e sviluppiamo gli

strumenti necessari per calcolare i limiti nella pratica.

1.1 Definizione e primi esempi

Sia \( f: D \subseteq \mathbb{R} o \mathbb{R} \) e sia \( x_0 \) un punto di accumulazione di \( D \). Diciamo

che il limite di \( f \) per \( x \) che tende a \( x_0 \) è uguale a \( \ell \in \mathbb{R} \) se:

DEFINIZIONE — Limite finito

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = \ell \) significa: per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che

se \( x \in D \) e \( 0 < |x - x_0| < \delta \), allora \( |f(x) - \ell| < \varepsilon \).

In parole povere: possiamo rendere \( f(x) \) arbitrariamente vicino a \( \ell \) semplicemente scegliendo \( x \)

sufficientemente vicino a \( x_0 \) (escluso eventualmente \( x_0 \) stesso). La definizione non richiede che \(

f \) sia definita in \( x_0 \).

Esempio 1.1. Consideriamo \( f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \) per \( x eq 1 \). Semplificando otteniamo \( f(x) = x +

1 \). Quindi

\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1} (x+1) = 2\).

Il punto \( x=1 \) è una discontinuità eliminabile: se ridefiniamo \( f(1)=2 \) la funzione diventa continua.

Limiti all’infinito e limiti infiniti

Possiamo estendere la definizione a casi in cui \( x_0 = \pm\infty \) oppure \( \ell = \pm\infty \). Ad esempio:

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = \ell \) se per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \( M > 0 \) tale che \( x > M \)

implica \( |f(x)-\ell| < \varepsilon \).

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty \) se per ogni \( K > 0 \) esiste \(\delta>0\) tale che \( 0 < |x-x_0| <

\delta \) implica \( f(x) > K \). ε-δ

PUNTO CHIAVE — Linguaggio

ε-δ ε-M…)

La definizione (o K-δ, è lo strumento rigoroso. Nella pratica, dopo averla interiorizzata, si usano

i teoremi algebraici e i limiti notevoli. Non dimenticare però di saperla scrivere in caso di domanda teorica.

1.2 Limiti destri e sinistri

Spesso è utile considerare il comportamento di \( f \) solo da un lato di \( x_0 \). Si definiscono allora il limite

destro e il limite sinistro:

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+} f(x) = \ell \) e \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \ell\).

Il limite “completo” esiste (finito o infinito) se e solo se esistono i due limiti unilaterali e coincidono.

A.A. 2026/2027 — 3 — Appunti didattici

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Figura 1.1 – Esempio di limiti unilaterali diversi.

Esempio 1.2. La funzione segno \( \mathrm{sgn}(x) = 1 \) se \( x>0 \), \( -1 \) se \( x<0 \), ha limite destro 1 e

−1

limite sinistro in \( x=0 \). Il limite bilaterale non esiste.

1.3 Teoremi fondamentali sui limiti

I seguenti risultati permettono di calcolare limiti di espressioni complesse a partire da limiti più semplici.

TEOREMA — Algebra dei limiti

Se \(\lim f = \ell\) e \(\lim g = m\) (finiti), allora:

• \(\lim (f+g) = \ell + m\)

• \(\lim (f\cdot g) = \ell\cdot m\)

• \(\lim (f/g) = \ell/m\) purché \( m \neq 0\)

• \(\lim |f| = |\ell|\)

TEOREMA — Teorema del confronto (dei carabinieri)

Se \( g(x) \leq f(x) \leq h(x) \) in un intorno di \( x_0 \) (escluso al più \( x_0 \)) e \(\lim g = \lim h = \ell\),

allora \(\lim f = \ell\).

TEOREMA — Permanenza del segno

Se \(\lim_{x\to x_0} f(x) = \ell > 0\), allora esiste un intorno di \( x_0 \) in cui \( f(x) > 0 \). Analogo per \(\ell <

0\).

Questi teoremi valgono, con le ovvie modifiche, anche per limiti all’infinito e per limiti unilaterali. Quando si

∞/∞, ∞−∞, ∞^0)

presenta una forma indeterminata (0/0, 0·∞, 1^∞, 0^0, i teoremi algebraici non si applicano

direttamente: occorre semplificare o usare limiti notevoli / de l’Hôpital.

1.4 Forme indeterminate e limiti notevoli

A.A. 2026/2027 — 4 — Appunti didattici

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Le forme indeterminate non sono “errori”: indicano che il risultato dipende dal modo in cui le funzioni

coinvolte si avvicinano ai rispettivi limiti. Ecco i principali limiti notevoli da memorizzare:

Limite Valore Note

\(\frac{\sin x}{x}\) \(1\) per \(x\to 0\) Base per tutti i lim. trig.

\(\frac{1-\cos x}{x^2}\) \(\frac12\) Segue dal precedente

\(\frac{\tan x}{x}\) \(1\) Identità trig.

\(\frac{\ln(1+x)}{x}\) \(1\) per \(x\to 0\) Equivalente a \(\ln(1+x)\sim x\)

\(\frac{e^x-1}{x}\) \(1\) Definizione di \(e\)

\(\left(1+\frac1x\right)^x\) \(e\) per \(x\to\pm\infty\) Definizione classica

\(\frac{a^x-1}{x}\) \(\ln a\) Per \(a>0\)

Tabella 1.1 – Limiti notevoli fondamentali.

Figura 1.2 – Comportamento grafico di due limiti notevoli classici.

Esempio 1.3 (forma 0/0). Calcolare \(\displaystyle\lim_{x o 0} rac{1-\cos x}{x\sin x}\).

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(1+\cos x\): \(\frac{1-\cos^2 x}{x\sin x(1+\cos x)} = \frac{\sin^2

x}{x\sin x(1+\cos x)} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{1+\cos x}\). Il limite vale \(1\cdot\frac{1}{2} = \frac12\).

∞/∞).

Esempio 1.4 (forma \(\displaystyle\lim_{x o+\infty} rac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = rac32\), dividendo

numeratore e denominatore per \(x^2\).

ATTENZIONE — Forme indeterminate

Non scrivere mai “0/0 = 0” o “∞/∞ = 1”. Sono forme indeterminate: il risultato può essere qualsiasi numero

∞).

(o Occorre sempre un’analisi più raffinata.

1.5 Asintoti

Gli asintoti descrivono il comportamento della funzione “all’infinito” o in prossimità di punti in cui la funzione

non è definita.

Asintoto verticale

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La retta \( x = x_0 \) è asintoto verticale se almeno uno dei due limiti unilaterali \(\lim_{x\to x_0^\pm} f(x)\) è

\(+\infty\) oppure \(-\infty\). Figura 1.3 – Asintoto verticale per \(f(x)=1/x\).

Asintoto orizzontale

La retta \( y = \ell \) è asintoto orizzontale se \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) oppure \(\lim_{x\to-\infty} f(x) = \ell\)

(o entrambi). Figura 1.4 – Asintoto orizzontale \(y=2\).

Asintoto obliquo

La retta \( y = mx + q \) (con \( m\neq 0 \)) è asintoto obliquo per \( x\to+\infty \) se

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = m\) e \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx) = q\). Analoga

definizione per \( x o-\infty \).

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Figura 1.5 – Asintoto obliquo.

PUNTO CHIAVE — Ricerca degli asintoti

1. Cercare asintoti verticali nei punti in cui il denominatore si annulla (o al bordo del dominio).

→ →

2. Calcolare i limiti a ±∞: se finiti asintoto orizzontale; se infiniti verificare se esiste asintoto obliquo.

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2. Continuità

La continuità formalizza l’idea di funzione “senza salti”. È una proprietà locale, ma ha conseguenze globali

importantissime (zeri, valori intermedi, massimi e minimi).

2.1 Definizione e proprietà

DEFINIZIONE — Continuità in un punto

\( f \) è continua in \( x_0 \in D \) se \(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\). Equivalentemente: per ogni

\( arepsilon>0\) esiste \(\delta>0\) tale che \( |x-x_0|<\delta \) implica \( |f(x)-f(x_0)|< arepsilon \).

Se \( f \) è continua in ogni punto di un intervallo \( I \), diciamo che \( f \) è continua su \( I \). Le funzioni

elementari (polinomi, razionali dove definite, esponenziali, logaritmi, seno, coseno, …) sono cont