Analisi matematica 1 - Definizioni e Dimostrazioni per Prova Teorica

Domande analisi

1. Definizione di funzione continua in un punto e classificazione dei punti di discontinuità

Fornire la definizione di funzione continua in un punto e la classificazione dei punti di discontinuità, fornendo di ciascun caso un esempio.

2. Teorema di Rolle

Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

3. Criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno

Enunciare e dimostrare il criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno.

4. Criterio di convessità per funzioni derivabili

Enunciare e dimostrare il criterio di convessità per funzioni derivabili.

5. Serie convergente e divergente

Fornire la definizione di serie convergente e divergente ed enunciare i criteri del confronto e del confronto asintotico per serie a termini non negativi.

6. Criterio di integrabilità

Enunciare e dimostrare il Criterio di integrabilità.

7. Somma integrale superiore e inferiore

Fornire la definizione di somma integrale superiore e inferiore, di integrale inferiore e superiore, di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann. Fornire un esempio di funzione limitata non integrabile secondo Riemann.

8. Teorema di esistenza degli zeri

Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.

9. Criterio di monotonia per funzioni derivabili

Enunciare e dimostrare il Criterio di monotonia per funzioni derivabili.

10. Regola di derivazione del prodotto di due funzioni

Enunciare e provare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.

11. Criterio del rapporto per serie a termini positivi

Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per serie a termini positivi.

12. Integrale improprio per funzioni continue

Fornire la definizione di integrale improprio per funzioni continue in un intervallo limitato (a, b]. Enunciare il criterio del confronto e del confronto asintotico per tale integrale.

13. Unicità del limite di una successione

Dimostrare che se il limite di una successione esiste, questo è unico.

14. Somma dei limiti

Dimostrare che se lim n→+∞ a_n = a e lim n→+∞ b_n = b allora lim n→+∞ (a_n + b_n) = a + b.

15. Raggio di convergenza di una serie di potenze

Fornire la definizione di raggio di convergenza di una serie di potenze ed enunciare il Teorema sul raggio di convergenza.

16. Formula di derivazione della funzione inversa

Provare la formula di derivazione della funzione inversa nell'intervallo [a, b].

17. Integrale improprio per funzioni continue fino a +∞

Fornire la definizione di integrale improprio per funzioni continue fino a +∞. Enunciare il Criterio del confronto e del confronto asintotico per tale integrale. Simile a (12).

18. Convergenza o divergenza di serie a termini non negativi

Provare che una serie a termini non negativi risulta convergente oppure divergente.

19. Teorema fondamentale del calcolo integrale

Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.

20. Teorema della media integrale

Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale.

21. Esistenza dell'estremo superiore

Provare che ogni insieme A ⊂ IR non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore finito.

22. Serie numerica convergente e divergente

Fornire la definizione di serie numerica convergente e divergente. Enunciare i noti criteri di convergenza per serie numeriche a termini non negativi.

23. Continuità di funzioni derivabili

Provare che ogni funzione derivabile in un punto è ivi continua.

24. Ordine di infinito di successioni

Dimostrare che se (a_n)_n∈IN ha ordine di infinito minore di (b_n)_n∈IN e (b_n)_n∈IN ha ordine di infinito minore di (c_n)_n∈IN allora (a_n)_n∈IN ha ordine di infinito minore di (c_n)_n∈IN.

25. Limite con infinito

Dimostrare che se lim n→+∞ a_n = a e lim n→+∞ b_n = +∞ allora lim n→+∞ (a_n + b_n) = +∞.