Analisi e geometria I - Successioni

Successioni

{f_n} = {f₀, f₁, ...}

Funzioni f: IN -> IR

n -> f_n

{f_n}_n>0

I m f ⊂ IR

Ma non sempre f_n = 1/n m>0 oppure f_n = 1/(n+1) m>0

LUN 7/10/24

Def

Una successione f_n e:

1. Superiormente limitata quando 3M e IR t.c. ∀m e IN (f_n < M) -> I m f ⊂ (-∞, M]
2. Inferiormente limitata quando 3m e IR t.c. ∀m e IN (f_n > m) -> I m f ⊂ [m, +∞)
3. Limitata quando 3m, M e IR t.c. ∀m e IN (m < f_n < M) -> I m f ⊂ [m, M]

Def

Una successione f_n possiede definitivamente una proprieta quando 3x e IN t.c. la proprieta sia verificata dalla successione ∀m > x

Def

Una successione f_n e convergente a l e IR quando

∀ε > 0 3m e IN ∀n > m (|f_n - l| < ε)

In questo caso si scrive lim_n->+∞ f_n = l, f_n -> l per n -> +∞

Oss

|f_n - l| < ε ⇔ -ε < f_n - l < ε

l - ε < f_n < ε + l

f_n e (l - ε, l + ε)

(n, f_n) -> punto nel piano

TEOR

DIM

f_n -> l₁ => ∀ε > 0 ∃m₁ ∈ N ∀n > m₁ (|f_n - l₁| < ε)

f_n -> l₂ => ∀ε > 0 ∃m₂ ∈ N ∀n > m₂ (|f_n - l₂| < ε)

FISSO ε > 0 IN MANIERA ARBITRARIA

PRENDO IL VAL MASSIMO TRA m₁ E m₂ IN MODO CHE LE DUE DISUGUAGLIANZE SIANO SEMPRE VERE

PRENDO m = MAX(m₁, m₂), ALLORA ∀n > m HO

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

|l₁ - l₂| = |l₁ - f_n + f_n - l₂| < |l₁ - f_n| + |f_n - l₂| < ε + ε

PER CAPIRE QUANTO SONO DISTANTI

|l₁ - l₂| < 2ε

|l₁ - l₂| < 2ε ∀ε > 0 E PERCIO' |l₁ - l₂| = 0 (PERCHE' SE AD ESEMPIO HO |5 - 4| < 2ε, 1 < 2ε; 1 < ε ¹/₂ MAI)

E QUINDI l₁ - l₂ = 0 => l₁ = l₂

TEOR

DIM

SCELGO ε = 1 ALLORA ∃m ∈ N t.c.

∀n > m |f_n - l| < 1 PERCIO' l - 1 < f_n < l + 1

E AVRO' UN INSIEME FINITO {f₀, f₁, ..., f_m-1} DOVE ∃ UN MAX E UN MIN => f_n E' LIMITATA

ESEMPIO lim _n->+infinito (2m+1)/(m+2) = 2

Th Vε>0 3m∈IN Vm>m̄ (|(2m+1)/(m+2) - 2| < ε)

|(2m+1)/(m+2) - 2| < ε ⇔ |(2m+1-2m-4)/(m+2)| < ε

3/(m+2) < ε

3 < εm + 2ε

m > (3-2ε)/ε → m > (3-2ε)/ε

OSS OGNI SUCCESSIONE COSTANTE E' CONVERGENTE

f_m = c V m∈IN

lim _m->+infinito f_m = c ⇔ Vε>0 3m∈IN Vm>m̄ (|f_m-c|<ε)

|c-c|<ε

0<ε Vε>0

OSS lim _m->+infinito f_m = l ⇔ lim _m->+infinito (f_m-l) = 0

DIM lim _m->+infinito (f_m-l) = 0

Vε>0 3m∈IN Vm>m̄ (|(f_m-l)-0|<ε)

(|f_m-l|<ε) → lim _m->+infinito f_m = l

DEF UNA SUCCESSIONE f_m

1) DIVERGE A +∞ QUANDO

VN>0 3m∈IN Vm>m̄ (f_m>N)

2) DIVERGE A -∞ QUANDO

VN>0 3m∈IN Vm>m̄ (f_m<-N)

OSS 1) lim _m->+infinito f_m = +∞ OPPURE f_m->+∞ PER m->+∞

2) lim _m->+infinito f_m = -∞ OPPURE f_m->-∞ PER m->+∞

DEF UNA SUCCESSIONE E' REGOLARE QUANDO E' DIVERGENTE O CONVERGENTE, IN CASO CONTRARIO SONO

IRREGOLARI

ESEMPIO f_n=(-1)ⁿ IRREGOLARE f_n=(-1)ⁿ/n -> 0 REGOLARE f_n=(-1)ⁿ n IRREGOLARE

f_n=m/(2+(-1)ⁿ) -> +oo REGOLARE

OSS f_n ILLIMITATA -> f