Analisi dei dati per la ricerca

Analisi statistica dei dati per la ricerca

Popolazione

Si definisce popolazione l'insieme degli elementi che costituiscono l'oggetto di studio.

Può essere:

• Finita: costituita da un numero finito di unità (Es. popolazione italiana, nr studenti immatricolati nell’2020/2021).
• Infinita: costituita da tutte le unità potenzialmente osservabili e non necessariamente già esistenti fisicamente (Es. i futuri acquirenti di un prodotto, tutte le persone affette da una patologia, oggi o in futuro).

Ogni componente della popolazione è detta: unità statistica.

Unità statistica

Si definisce unità statistica l'unità elementare su cui vengono osservati i caratteri oggetto di studio (Es. i cittadini italiani, i clienti di un negozio).

Ricorda però che un’unità statistica può far parte di più popolazioni.

Caratteri variabili

Su ciascuna unità statistica della popolazione si osservano alcune caratteristiche.

Si definisce carattere statistico (o variabile) la caratteristica rilevata in corrispondenza di ciascuna unità statistica che si ritiene rilevante ai fini dell'indagine.

Le modalità dell’indagine devono essere:

• Esaustive: le modalità elencate devono comprendere tutte le possibili manifestazioni del carattere.
• Non sovrapposte: ad ogni unità si deve poter associare una sola modalità.

Classificazione dei caratteri statistici:

Qualitativi:

• Sconnessi → Es. sesso, attività, luogo di nascita.
• Ordinati → Es. quelli che esprimono un grado di soddisfazione, titolo di studio, la posizione di una graduatoria.

Quantitativi:

• Discreti: numero di figli, numero pezzi prodotti, voto ad un esame.
• Continui: peso, altezza.

La rappresentazione dei dati-distribuzioni

Matrice dei dati

Una volta raccolti, i dati vengono organizzati in una matrice.

Distribuzione statistica unitaria

Si consideri un collettivo statistico di n unità, dove si sia osservato il carattere X.

Si definisce distribuzione statistica unitaria (o disaggregata) secondo il carattere X l'insieme delle osservazioni (rappresentate da numeri o da espressioni verbali) relative alle unità del collettivo.

Es. Supponiamo di aver rilevato su 20 persone i caratteri Sesso → la distribuzione sarà “Maschio Femmina Femmina Maschio Femmina Femmina Maschio ecc.. (o anche in colonna →

• Distribuzione unitaria semplice: l'elencazione delle modalità diverse unità per unità nel collettivo preso in esame.
• Distribuzione unitaria multipla: quando l'elencazione riferisce a più di un carattere.

Es.

Distribuzione di frequenze semplice assoluta

Per ottenere una maggiore sintesi, per ciascun carattere è possibile considerare la frequenza con cui le diverse modalità sono state osservate.

Si definisce frequenza assoluta di una modalità di un carattere il numero di volte che questa è stata osservata nel collettivo oggetto di studio.

Si definisce distribuzione di frequenza assoluta la lista delle modalità osservate accompagnata dalle rispettive frequenze assolute.

→ La distribuzione di frequenze si dice semplice se riferita ad unico carattere, doppia se a due, mentre multipla se a più caratteri.

Es.

Nel costruire le distribuzione di frequenze semplici è necessario effettuare aggregazioni in classi → suddivisione in classi.

La scelta delle classi è arbitraria, ma va fatta tenendo presente che:

• Nessuna classe deve essere vuota;
• Le classi devono essere contigue, disgiunte ed esaustive;
• Devono avere possibilmente la stessa ampiezza (però ci sono casi in cui hanno ampiezza differente) → ampiezza (estremo superiore - estremo inferiore)*;
• Il numero di classi deve essere tale da consentire un'adeguata sintesi dei dati senza comportare una eccessiva perdita di informazioni.

Ricorda inoltre che nello stabilire gli estremi della classe occorre tenere presente che ognuna delle determinazione osservate del carattere deve essere compresa in una sola classe. Nel caso di caratteri continui si rende quindi necessario includere nella stessa classe uno solo dei due estremi dell'intervallo.

Vedi infatti parentesi nell’esempio qui riportato → *

Classi di differenti ampiezze

Può capitare, o per scelta (si vuole fornire informazioni più dettagliate su parte della distribuzione), o per necessità (i dati sono già stati raggruppati in classi da qualcuno), di costruire delle classi utilizzando intervalli di lunghezza differente. In questo caso è conveniente definire anche la densità di frequenza. La densità è definita come:

Nell'esempio precedente con il reddito infatti l'ampiezza delle classi era uguale, mentre in altri casi può essere diversa →

Frequenze relative

Dalle frequenze assolute si può passare alle distribuzioni di frequenze relative (e anche percentuali).

Frequenze relative: →

Es.

È infatti necessario passare dalla distribuzione semplice a quella relativa (o percentuale) poiché quest'ultime hanno il vantaggio, rispetto alle frequenze assolute, di permettere di confrontare le distribuzioni di due o più collettivi (con numerosità diversa).

Infatti i valori delle frequenze assolute dipendono dalla dimensione del collettivo. Se questo è molto piccolo, allora saranno piccole anche le frequenze assolute. Per evitare questo problema allora si deve passare ad esempio alle distribuzioni relative che invece non dipendono dalla dimensione del collettivo.

Ricorda: la somma di tutte le frequenze relative è sempre 1 (mentre quelle percentuali è 100).

Frequenze cumulate

Nel caso le modalità del carattere siano ordinate: dunque carattere qualitativo ordinato o quantitativo; conviene considerare la frequenza con cui si presentano modalità di ordine superiore o inferiore ad una certa modalità.

La distribuzione delle frequenze cumulate poiché la frequenza per una data classe è ottenuta come somma della corrispondente frequenza e di tutte quelle relative alle classi precedenti.

Inoltre se uno desidera può creare le frequenze cumulate anche delle frequenze relative (ottenendo così le frequenze cumulate relative).

Rappresentazione grafica delle distribuzioni semplici

Diagramma a torta

Per caratteri qualitativi non ordinati.

Il grafico è costruito rappresentando ogni modalità con una fetta di torta di superficie proporzionale alla sua frequenza: angolo = 360 · frequenza assoluta/n.

Grafico a barre o a nastri

Per carattere qualitativo o quantitativo discreto.

• Il grafico è costruito rappresentando ogni modalità con una barra verticale (nastro orizzontale) di altezza (lunghezza) proporzionale alla sua frequenza (assoluta o relativa).
• Le barre (nastri) sono equidistanziate ed hanno tutte la stessa base (altezza).
• Se il carattere rappresentato è qualitativo ordinale o quantitativo (discreto!), le modalità verranno rappresentate rispettando l'ordine.

Es.

Inoltre esistono anche i grafici a barre (o a nastri) multipli che permettono di rappresentare contemporaneamente più distribuzioni semplici mettendo a confronto per ciascuna modalità le diverse frequenze.

Istogramma

Per caratteri quantitativi continui suddivisi in classi.

È infatti un grafico costituito da barre non distanziate, con basi uguali o diverse, dove ogni barra possiede un’area proporzionale alla corrispondente frequenza o quantità.

Dunque:

Si costruiscono, l'uno adiacente all'altro, tanti rettangoli quante sono le classi in cui è suddiviso il collettivo, ponendo (base rettangoli) = (ampiezza della classe) (area rettangoli) (frequenze assolute (relative) ∝

Il simbolo ∝ significa proporzionale a.

Dobbiamo, a questo punto, distinguere 2 casi:

1. Le classi hanno tutte la stessa ampiezza.
2. Le classi hanno ampiezze diverse.

Se stessa ampiezza:

Area rettangoli = frequenze assolute (o nel caso quella relativa).

Se diversa ampiezza → dobbiamo calcolarla:

Base rettangoli: ampiezza della classe.

Altezza rettangoli: densità di frequenza.

Es. costruzione istogramma:

Dunque →

Le rappresentazioni grafiche di distribuzioni di frequenza:

• Per variabili categoriali (qualitative), la rappresentazione prende il nome di diagramma a torta o diagramma a barre.
• Per variabili discrete, la rappresentazione prende il nome di diagramma a barre.
• Per variabili continue, la rappresentazione prende il nome di istogramma.
• Forniscono una immagine della distribuzione dei dati: barre o scatole più alte rappresentano modalità più frequenti;
• Aiutano a descrivere la forma della distribuzione dei dati;
• Sono fortemente comunicative... ma devono essere ben costruite!

Sintesi della distribuzione di una variabile

Il processo di sintesi non si limita alle sole distribuzioni, ma si può arrivare a sintetizzare con un unico valore una particolare caratteristica della popolazione → indici sintetici.

Possono essere impiegati per:

• Confrontare tra di loro situazioni diverse - stesso fenomeno rilevato su collettivi diversi; - stesso fenomeno in tempi e/o luoghi diversi; - fenomeni diversi tra di loro.
• Valutare il dato ottenuto confrontandolo con un valore standard noto.

Quali indici calcolare? scelta dipende dalle caratteristiche che descrivono ⇒ la sinteticamente la popolazione di studio.

Caratteristiche su cui ci concentriamo:

• Centralità.
• Variabilità.

Misure di centralità

Esprimono il centro ideale della distribuzione → il valore intorno al quale “gravitano” i dati.

Bisogna tener conto di 2 fattori:

• Tipologia del carattere in esame.
• Motivazioni che inducono a “sintetizzare” la distribuzione con un unico valore.

In generale, distinguiamo 2 grandi categorie:

• Medie di posizione si identificano in un valore “più frequente” oppure che occupa una “determinata posizione” → per caratteri quantitativi e qualitativi ordinati.
• Medie analitiche calcolate mediante operazioni algebriche su tutte le modalità del carattere → per caratteri quantitativi.

Medie di posizione: moda

La moda di una distribuzione è la modalità cui è associata la massima frequenza (assoluta, relativa, percentuale).

→ Esprime la modalità più comune.

→ È definita sia per caratteri qualitativi che quantitativi.

Per la distribuzione in classi la moda:

Si definisce classe modale la classe alla quale corrisponde la massima frequenza (assoluta, relativa, percentuale). Se all’interno della classe si vuole individuare un unico valore si può scegliere quello centrale.

Ma se le classi hanno ampiezza diversa per individuare la classe modale è necessario fare riferimento alle densità di frequenza (non alle frequenze assolute o relative!).

Osservazioni:

1. Se tutte le modalità del carattere presentano all’incirca le stesse frequenze, allora non ha senso determinare la moda;
2. Può ritenersi un buon criterio di sintesi quando si presenta con una frequenza “nettamente maggiore” di tutte le altre modalità (almeno il 50% delle osservazioni) è ragionevole ⇒ assumerla come quel valore più idoneo a rappresentare sinteticamente la distribuzione;
3. Potrebbe non essere unica distribuzioni plurimodali. ⇒

Es. moda per distribuzioni in classi:

→ Dunque quando abbiamo una suddivisione in classi si parla di classe modale → e dunque e a sua volta vogliamo individuare un unico valore, si potrà prendere il valore centrale della classe.

• Se classi stessa ampiezza → guardando le frequenze assolute riesco ad individuare la classe modale.
• Se classi hanno diversa ampiezza → devo calcolare le densità (frequenze/ampiezze).

Es.

Medie di posizione: mediana

Si definisce mediana il centro ordinale della distribuzione, ovvero il valore che bipartisce il collettivo in due parti di uguale numerosità.

Osservazioni:

1. Per poter calcolare la mediana il carattere deve essere almeno ordinale non è ⇒ possibile calcolare la mediana per caratteri qualitativi sconnessi.
2. Il procedimento per il calcolo della mediana cambia a seconda del tipo di distribuzione: - distribuzioni unitarie - distribuzioni di frequenza - distribuzioni in classi.

Mediana per distribuzioni unitarie

Per distribuzioni unitarie:

1. Ordinare le n unità in senso crescente rispetto alle modalità del carattere.
2. Individuare la posizione in graduatoria dell’unità centrale:

• Se n è dispari → allora il valore sarà unico ed in posizione centrale.
• Se n è pari → ci saranno allora due valori con posizione N/2 e (N/2)+1.

In questo caso dunque possiamo considerare come mediana la semisomma dei due valori:

NB: nel caso in cui si presenta la stessa situazione per caratteri qualitativi, la mediana risulta indeterminata → dunque non si può svolgere il calcolo.

Inoltre se abbiamo all’interno di una distribuzione unitaria un valore anomalo.

Es. 2 3 3 5 5 6 6 7 8 60 (con 60 come valore anomalo).

La mediana (rispetto alla media aritmetica) è molto più rappresentativa, poiché non è influenzata dalla presenza del valore anomalo.

Mediana per distribuzioni di frequenza

Per le distribuzioni di frequenza:

Procedimento più semplice basato sulle frequenza cumulate relative.

La mediana è quella modalità cui è associata la prima frequenza cumulata relativa per la quale è soddisfatta la disuguaglianza:

Dunque:

In altre parole, è la prima modalità per la quale la frequenza cumulata relativa è maggiore (o uguale) a 0,5.

Es. Con carattere quantitativo.

Dunque la mediana: guardiamo le frequenze relative ed individuiamo il primo valore che supera 0.5 → il primo valore è 0.72 che è associato dunque al carattere 2.

Perciò 2 sarà la nostra mediana.

Es. Con carattere qualitativo.

Mediana per distribuzioni in classi

Per distribuzioni in classi:

Procedimento un po’ più articolato:

• Si individua la classe mediana utilizzando le frequenze cumulate relative (come nel caso precedente).
• Per individuare la mediana (all’interno della classe mediana) si utilizza la seguente formula dove - Im = estremo inferiore della classe mediana - Fm−1 = frequenza cumulata relativa della classe precedente alla classe mediana - Fm = frequenza cumulata relativa della classe mediana - am = ampiezza della classe mediana.

Es.

Osservazioni conclusive sulla mediana:

• Il valore della mediana, dipende solo dalle modalità di rango centrale. Tutte le altre modalità del carattere vengono completamente ignorate: - la mediana non risente dei valori anomali → pregio - viene pregiudicata la capacità della mediana di sintetizzare l’intera distribuzione → difetto.
• Si può ritenere che la sintesi sia tanto più soddisfacente quanto più il numero delle unità con modalità inferiore alla mediana si avvicina al numero delle unità con modalità superiore alla mediana.

Dunque:

Percentili

Possiamo immaginare di dividere la distribuzione in 100 parti, ognuna con lo stesso numero di unità.

Si definisce p-esimo percentile il valore della distribuzione tale per cui il p% delle osservazioni si trova prima di quel valore.

→ I percentili di uso più frequente sono il 25-esimo, il 50-esimo e il 75-esimo, detti anche primo quartile Q1, secondo quartile Q2 e terzo quartile Q3. → quartili.

I quartili

→ Se distribuzioni di frequenze: →

Es. guardo le frequenze cumulate il primo valore che supera 0,75 (e trovo il terzo quartile ad esempio → stessa cosa per il primo quartile con 0,25).

→ Se distribuzioni in classi:

Non è possibile l’esatto valore del quartile ma, come la mediana, possiamo avvalerci di una sua approssimazione.

Es. Altezze →

Per le distribuzioni unitarie:

Indichiamo con p il quartile di interesse e valutiamo la quantità:

i = p × n

P: percentile (0,25 / 0.75) N: numero di valori.

Es.

Consideriamo i valori: 15 8 7 13 12 10 9 7

1. Ordiniamo i valori in senso crescente:

Calcoliamo i: p x n → dunque in questo caso p: 0.25 e n: 8 → da cui 8 x 0.25 = 2.

Dunque Q1:

I: ci serve per scegliere i valori di X (in questo caso 2 significa che dovrò prendere il valore posto in posizione 2 e il valore posto in posizione 2+1: 3 → ovvero 7 e 8).

Es. con valore non intero:

• Consideriamo i valori: 27 31 20 25 34.

Per calcolare il I primo quartile ordiniamo (i valori) in senso crescente:

• Calcoliamo i = p × n. In questo caso p = 0.25 e n = 5, da cui i = 0.25 × 5 = 1.25.

1,25: non intero.

• i* : dunque è 1,25 + 1 : 2.25 → approssimato al suo numero intero dunque 2.
• Perciò il primo quartile sarà il valore che si trova in posizione 2: ovvero 25.

Media aritmetica

Riveste certamente un ruolo di primo piano tra le medie analitiche.

Dato un insieme di n valori osservati x1, x2, ..., xn si definisce media aritmetica del carattere quantitativo X la somma dei valori osservati divisa per il numero n di osservazioni. In formula:

Es. x1 = 1500, x2 = 2400, x3 = 1250, x4 = 1430, x5 = 2120.

M: (1500 + 2400 + 1250 + 1430 + 2120) / 5 : 1750.

Dunque la media aritmetica, essendo un rapporto, indica quella parte del totale che spetterebbe a ciascuna unità qualora questo venisse suddiviso in n parti uguali.

In altri termini, la media aritmetica coincide con quella modalità del carattere che dovrebbe possedere ogni unità statistica se l’ammontare complessivo del carattere fosse ripartito in eguale misura tra tutte le unità.

Ma se il caratt