Analisi B - seconda parte

Campi vettoriali 2

Definizione di vettoricampo

ÉSia cairn 1archi sia tramaperto eun percommesso ÈÈ cche è cvettoridiF dicoFm campounÉ c F le Fm.

Esempio campo gravitazionale

Se Mho la dalla M2 attivata forzaèe massamasse m massa coninMMÈ il GRa lela tradistanzaèe masseI m F miail dagravitazionale partendo comeIf definisco campo gravitazionale InÈ Im'È TI I5 ata t t yFcx MAMa pia214,2131221 1,21312.

Definizione lavoro

EElamSia irmarchi vettoriapertoe a diacommesso campoper unf bsiae regolarecurvaaa unaÈ Echiamo scalare llavoro di lolungoÈ E If è 8dovedsL ile tangente aversareÈ II IIIIFIFA È I'ItLa Fin atÈ aFANÈ ICHFCA atdel lavoro.

Significato fisico

È 5In la costanteil lodefinito la forzaèlavoro con rettilineofisica e spostamentocomeSe lo laad costantegeneralizziamo forzapoligonale lungouna con ogni segmentoÈ È sìLÈE E Èlaad costanteforzaanteriormenteGeneralizzandolo curva conuna sempreÈÈ FixÈ yIIµ It iiiperdellegeneralizzandoµ diventacurve un integraleFix E dsLa yeÈ.

Esempio di campo vettori

VettoridiEsempio dicampoSia sian astriscalari2 valori archiU classedi apertoeuna con commessofunzione perail di vettoriègradientesuo campounÈ TE È 2 1amE ix ese yTE 1Kexexx IRy y ax.

Definizione di rotore e divergenza

Definizione rotoredi Midivergenza eF ÈSia 1km EIR archi1 vettori2 diaperto commesso campoperE Èchiamo scalare diulodi indivergenza 2F LIE E LIdiv ftpÈ IRcioè3 2se Fi FaFam ÈE Ichiamo rotore rotvettoredi il ai J K ÈÈèÈ È IE SE_oIIE E Edetrot EEE È.

Definizione di campo irrotazionale e conservativo

Definizione di irrotazionaleconservativo ecampoÈ leiSia cirmvettorie archidi apertoeun commesso percampo t.c.EU FipÈÉ èacirmairAdico eche di perU classeè conservativo u Primitivaanche potenzialedettoviene oÈiii i inizialeda punto finaleparticella un auna unoper spostareè seèdio èche irrotazionale È ÈPer irrotazionale rot3 èm o.oo.

Teorema del lavoro

Teorema Ìdel lavorodi teoremainvarianza dimostrazione menoimportanteÈ È1km ElamSia diarchi vettoriapertoa a per campocommessof f lorob traBI2siamo equivalenti2 regolariee ea curvef f lavoro è loil stessoequiorientateese sonoÈ È EE fds dsf f cambialavoroequiorientate solonon ilse equivalentisonoe segnomaÈ ÈE Ifds as.

Dimostrazione

DimostrazioneÈSia 1km fvettori f1 di siano equivalentieun puntoe curvecampo per ognif f ledidel definireè ancheche diil funzionisostegno sostegno possoÈ P TI TEP Ffèdove nel Imuil versareLg punto Ptangente eaP È TIf TI III I Inuitdove è Imunel Ppuntoila versare tangente eaf f1 che equiorientatesianoSupponendo eOPETETE FImmFIP FIFI FÉ EE LEIFEETQuindi SISe È I ÉEf Ef fecef Edsdsds dsle La a E.

Perché invarianticurvilineigli integrali equivalentisono funzioniperF F orientatein edequivalentiquesto equie ecaso sonof f equiorientateche2 equivalentisianoSupponendo nonmaeOPETETE FImmFIP FIFI TE E EE FEET SEQuindi Se È I ÈEff EI Ef f dsds dsSp Lle dsa a E.

Perché invarianticurvilineigli integrali curvilinei equivalentisono funzioniperF Fin equiorientateequivalentiquesto noncaso sono maee.

Teorema di Schwartz

Teorema Schwartzdi du ÈP APEElamSia Irm e alloraU Aa classedio OxOxdi OxÌ.

Teorema importante: conservativo e irrotazionale

Teorema ImportanteÈ È IrrotazionaleConservativoDimostrazione IR semplicitàin perÈ ÈSia archiAlay vettorieTRaB diaperto commessox campoy pert.c.TT ÈÈ IoPoiché in cioèconservativoè AFI8 BA e FI 8Bisogna severificare TIÈ TEÈDato Eche e ec e adteoremail Schwartz udiapplicareposso a020 3OxOraOzu aOxo E87Ffo9dato cheÈ ESe non Non ConservativoIRROTAZIONALE.

Esempio

EsempioÈ Èè Èè irrotazionalei èyy conservativox Itxy yaayFI I21 4212 È è irrotazionaleYaxÈ 1Hayata è Ix2I 2ydxtlxdxtldx.todxdxu 1 emyA xdx Xyx a yy 4,2TI 24I K y K'lyBIX iYlie YIfpLydyi y Ke y ey ÉI IyaU Ilu conservativaèyx x kxy x yy È.

Teorema di integrazione dei campi conservativi

Teorema di dei conservativi meno importantecampiintegrazioneÈ cirmsia Irm di archiconservativovettori apertoa e commessocampo per Èf ilsia dibsia a u potenzialecurva eregolareunae a È FIDI Fcaf1 dsf U Ua a.

Dimostrazione in IR

Dimostrazione IRinÈ ÈSia IIN It VHALAY BX xy y FitlaConsiderando V1 IRbfunzione acalcola funzionelanee TE FILAFCA FCAU Fit Fit y'Ittx FGEHA Y'ABH Èlavoro laCalcolo il lungo curvaIÈ I FINJINf X'HL A Atds B YFINULPIA I Feb V18Uat U adello.

Proposizione di 2 potenziali sullo stesso campo vettori

Proposizione di2 stesso vettoripotenzialisu campoÈSia 1km cirmdi vettori eA archiapertoun campo commesso perFSe diU costanteir potenzialia Ua astr sonoe differiscono unaperÈ È NÉI UIRcioè ticK E AKVa E int tuttica chiede anonÈ.

IrmSia sirm vettorididi2 e aperto connesso un campoÉ èa conservativob chiusa èil lavoro nullolungo curvaqualsiasiti ti1bse BIe ac regolariaaa curveF fiÈ Ètic b pla sono equivalentinona e ÈÈI I E dsds fa.

Dimostrazione

Dimostrazione1 2LÈSe haconservativaè potenzialeun FebFiaf trattiSia chiusab ovvero conregolarea acurvaunaaDevo dimostrare lavoro nulloche il èPer teorema hail conservatividei sidi campiintegrazioneÈ I FcaFeb flatfULa ds U oU doveU ira ilvia è potenziale.