Analisi 1

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1. Derivata come tasso di variazione

La derivata misura quanto rapidamente cambia una funzione. Se y=f(x), la derivata in x₀ è il limite del

rapporto incrementale: f’(x₀)=lim h→0 [f(x₀+h)-f(x₀)]/h, quando tale limite esiste ed è finito.

Interpretazione geometrica Interpretazione fisica

Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare Se s(t) è la posizione, [s(t+h)-s(t)]/h è la velocità

di una secante. Facendo h→0, la secante tende alla media; il limite per h→0 è la velocità istantanea

tangente: f’(x₀) è la pendenza della tangente al s’(t). La derivata è quindi un tasso di variazione

grafico in x₀. istantaneo.

Esempio dalla definizione

f(x)=x². [f(x+h)-f(x)]/h=[(x+h)²-x²]/h=(2xh+h²)/h=2x+h. Per h→0 si ottiene f’(x)=2x.

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2. Derivabilità e continuità

Se una funzione è derivabile in un punto, allora è continua in quel punto. Il contrario non è sempre

vero: una funzione può essere continua ma avere un angolo, una cuspide o una tangente verticale che

impediscono l’esistenza di una derivata finita.

Esempio classico Punti non derivabili

f(x)=|x| è continua in 0, ma non derivabile: - punti angolosi;

derivata sinistra = -1, derivata destra = +1. - cuspidi;

- tangenti verticali;

- discontinuità (che escludono automaticamente la

derivabilità).

Regola pratica

Prima di studiare la derivabilità in un punto delicato, controlla la continuità. Poi confronta i rapporti

incrementali o le derivate laterali.

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3. Derivate fondamentali

Una buona padronanza delle derivate elementari rende rapido tutto il calcolo successivo. Le formule

vanno imparate insieme al dominio della funzione e alle regole di composizione.

Tabella base Trigonometria

(c)’=0. (sin x)’=cos x.

(x^n)’=n x^(n-1). (cos x)’=-sin x.

(e^x)’=e^x. (tan x)’=1/cos²x dove definita.

(a^x)’=a^x ln a.

(ln x)’=1/x, x>0. Radice

(√x)’=1/(2√x), per x>0.

Esempi

d/dx (x⁵-3x²+7)=5x⁴-6x.

d/dx (e^x+ln x)=e^x+1/x, per x>0.

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4. Regole di derivazione

Le regole di somma, p