Algebra e geometria - 3-6 Determinanti + Matrici inverse + autovettori

Matrici

Determinante della matrice

La matrice inversa si può calcolare usando il metodo di eliminazione di Gauss.

Calcolo della matrice inversa

Una matrice quadrata: A • B = A • A^-1 = A. Femmin scuola:

(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1) - (0 1 0)
(1 0 0)
(0 0 1) - Uso operazioni elementari esclusivamente sulle righe

Trovo quindi B = A^-1:
A | I ~ I | A^-1 B = A^-1 (inverso di A)

Esempio

Matrice invertibile:

(1 2 3) (1 0 0)
(0 1 4) -> (0 1 0)
(5 6 0) (0 0 1)
Matrice identica:
(1 0 3) (3 -1 6)
(0 1 4) -> (0 1 -4)
(0 0 1) (1 -2 3)

B | B • A = I => B = A^-1

Esempio di matrice non invertibile

(1 2 3) (1 0 0)
(2 4 6) -> (0 1 0)
(1 6 0) (0 0 1)

Se rango (A) la matrice non è invertibile e il rango di A non è massimo.

Quando una matrice è invertibile?

Il mtx è regolare. A deve essere quadrata, n = m, nel caso ci sia una conversione lineare. Se non sono riformi -> ine - m lemma e si moltiplica n*m (dim Im f) = rango (A)(ker f) = nullità.

Una matrice per una matrice max n*m, A non quadrata o A non invertibile Null (A) = lim (ker f) = {0}.

R V -----------> A invertibile B A = C.

Determinanti solo per matrici quadrate

Perché solo loro (sono invertibili) | (a b) | (c d) Matrice 2 x 2.

Condizioni non esistono se ad - bc = 0 la matrice è invertibile, altrimenti no.

Determinante l'A det A = ad - bc.

Le permutazioni

La matrice inversa si può calcolare usando il metodo di eliminazione di Gauss.

Calcolo della matrice inversa

Uso operazioni elementari esclusivamente sulle righe.

A · B = A · In form a scala.

Esempio: matrice invertibile

1  2  2
0  1  3
3  2  0
Matrice identica:
1  0 0
0  1 0
0  0 1

B · A = I   =>  B = A^-1

Esempio: matrice non invertibile

1  2  2
0  0  0
3  2  0

Se range(A) < range(I)   la matrice non è invertibile. Il range di A non è massimo.

Quando una matrice è invertibile

A matrice nxn quadrata. Se m = n (n colonne) allora A quadrata e non invertibile. Im W = dim W = m.

A matrice quadrata nxn. A invertibile ↔ f è biunivoca ↔ f è iniettiva ↔ suriettiva.

Determinanti

Solo per matrici quadrate. Matrice 2x2.

Condizione per l'esistenza dell'inversa A^-1 = a -b-c d.

Determinante determinante di A ↔ det A = ad-bc.

Determinante

Determinante di A ⇒ det A = ad - bc.

Le permutazioni

σ: {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n}. σ è una permutazione se è onto se è biettiva.

S_n = {insieme di tutte le permutazioni di n oggetti} |S_n| = n! = 1·n·(n-1)·...·2·1 = n! cresce più di eⁿ.

σ=[σ(1) σ(2) σ(3)] → per σ una matrice a 2 righe per rappresentare una permutazioni.

Es. sole se scambio facce di cubo di rubik in numero pari, posso tornare al cubo completo. σ = permutazione.

Segno (σ) = { +1 se σ è pari, -1 se σ è dispari }.

Permutazione identica: zero scambi. (pari)

Permutazioni nelle matrici

A = (a_ij) Matrice m×m.

det A = ∑ segno(σ)·a_σ(1)1 · a_σ(2)2 · ... · a_σ(n)n.

Esempio: matrice 3x3

A = (a_ij).

det A = ∑ segno(σ)·a_σ(1)1 · a_σ(2)2 · a_σ(3)3.

Regola di Saurus (solo per matrice 3 × 3)

Per la matrice 4 × 4 devi avere una sommatoria: (4! = 2·24) prodotti.

Diagonali trovate con questo metodo sono solo 2

• Si usano regole del genere per le matrici quadrate di ordine ≥ 4
• Ricopre le prime 2 colonne della matrice
• Considera i prodotti dei termini delle diagonali verso destra, presi con segno +
• Considera i prodotti dei termini delle diagonali verso sinistra, presi con segno -

Proprietà del determinante

⇒ A matrice triangolare (superiore o inferiore, indifferente).

det A = ... a_nn det(A) = a₁₁ a₂₂ ... a_nn.

⇒ La matrice trasposta | ➜ il determinante non cambia perché sto.