Algebra e geometria - 2-6 Matrici

Matrici di funzioni

Matrice

Matrice _{m x n} (_m righe _n colonne).

Ad ogni funzione lineare si può associare una matrice A.

Funzione rappresentata in modo unico.

F(u) = ∑ a_i v_i → w + ...

A = M(V, W)

Matrici rispetto alla base.

(u₁,...,u_m → A = M(V).

Matrice è funzione rispetto ... alla base v = ∑ ... ← A = (a_ij) ← B = (b_ij)

Somma delle corrisponde alla somma della matrice.

A^-1 (b_ij) → ← (b_ij) ⇒ ... e ogni elemento della matrice a + b.

L'unione delle matrici m x n forma uno spazio vettoriale.

Composizione di funzioni

Composizione di funzioni g : u → v f : v → w.

• → ← h = v → ∑ ← A = (a_ij) ← B = (b_ij)

Base U : v = ∑ (v₁,v₂,...,v_m)

A = \sum(fH(i, j))

Le basi ei:( e_i) ... A ← b_ik → (b_ik) → prodotto delle matrici.

Dim base di v.

Matrici di funzioni _{lunedì 20 marzo 2023}

Matrice

A = (a_ij)

Matrice m x n (m righe n colonne).

Matrice.

Ad ogni funzione lineare si può associare una matrice A. A dipende dalle basi scelte (U e W).

A = M_U^W(f) Matrice t.q. f -> v rispetto alla base V = {v₁,...,v_n} ⊆ V o alla base W = {w₁,...,w_m} ⊆ W.

F(x) = a₁w₁ + ... + a_mw_m, A - lineare T caso utilizzo matrici A = ( ) B = ( ) f ⟶ A = (a_ij) Rn f(g) ⟶ g(v) = b_ij(y) v. A._V = ().

Somma

Somma.

Trasformiamo come somma corrisponde alle basi V, e W.

Somma su due matrici.

Matrice n righe e m colonne.

A + B = (a_ij + b_ij) => somma gli elementi che si trovano nella stessa posizione H_U(f + g) = H_U(f) + H_U(g)

(λ ∈ K) (λ)

Prodotto di una matrice per uno scalare

• A = λ ().
• A - λ() significa moltiplicare λ per ogni elemento della matrice.
• L'insieme delle matrici m x n forma uno spazio vettoriale.

Composizione di funzioni

V w v w v g(w)

U W 0 0 0 g(f(w))   (f ∘ g)(v) = A C_P w   A C_P ρβ ρβ AA(f) A = (a_ij) ( ) f(b_ij) ()f.

• G(f) _— ordine delle () φ() w , φ(b_ij) (A ∘ ()).

C = ( ) non φ  dim base V dim base w.

  Esempio: V = U = {v₁, v₂, ..., v_n}

W = {w₁, w₂, ..., w_m}

A = M_U^V(f) A = (a_ij) Per — σ C − β = ( )  prodotto delle matrici.

f) ( ) ( ) ( )

C = ( ) B matrice delle funzioni compostoni istr φθ

A = ( )

C = Matrice delle funzioni composta g∘f

A = (agr) ( )

Dim un v = 2(v₁, v₂)(v, v₃)

Coordinata della matrice A secondo la base fissata.

A = esempio 1 ·3 ·5 ·4 · sim. di matrici.

A = (0 7)(1 2)

Matrice nulla.

Matrice opposta.

Prodotti di matrici

A = (a_i,j)

B = (b_i,j)

C = B · A

(c_i,j) = esempio B · A = (1 2 0)(-3 5 4)(2 0 3)(5 3 3)(2 0 0)(-3 5 0)

Righe matrice B e colonne matrice A.

Matrice x 1 (vettore)

c₁v = prodotto scalare.

cos a = proprietà prodotto tra matrici.

Proprietà svantaggiose

Svantaggiose.

A · B ≠ B · A non proprietà commutativa.

2 matrici non nulle → prodotto matrice nulla.

es: A =

A =

Proprietà vantaggiose

if(A)= vantaggiose.

(A-B)·C = A·C-B·C proprietà associativa.

(A+B)·C = A·B·C+B·C proprietà distributiva.

A·I = I·A = A elemento neutro prodotto.

Matrice con 1 lungo la diagonale principale e in tutto il resto 0.

Matrice identità (matrice unitaria)

I = ^{1 0 0}    _{0 1 0    0 0 1}

I prodotti notevoli non valgono per le matrici:

(A+B)² = A² + 2AB + B²

A² + AB + B²

Perché AB ≠ BA

Trasposizione

A = (a_ij) n righe m colonne.

La trasposta si indica con A^T (A con l'indice con T).

Della matrice A^T è m righe n colonne.

Esempio.

A = ^{2 3 4}    _{4 1 3}

A^T = ^{2 4}         _{3 1         4 3}

Proprietà trasposizione

(A^T)^T = A

(A+B)^T = A^T + B^T

(A-B)^T = A^T - B^T

f: V → W lineare

{v_i, ..., v_n} base di V

{w_i, ..., w_m} base di W

Dim.:

w = f(u) = ∑(a_ijv_j)

po passare da ^(y₁)_(y2)

A f(v) = 0_n, v₁, v₂, w₁, a₂w₂

A = [1 2 3][0 2 3][0 0 0]

Colonne di Le colonne della matrice corrispondono alle immagini f(v₁),...,f(v_n) dei vettori della base di V.

Le colonne della matrice generano l'immagine di f → lim (Im(f)) massimo numero di colonne l.i. indipendenti della matrice A.

Rango di A

Il rango di colonne della matrice è uguale al rango di righe della matrice.

Molto utile nei calcoli.

Esempio f: R³→R²

f(lineare)

W

f(v) = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃w₃³ ... v₃³w₃ → (2v₁, 3v₃, 1+v₃) con f[f(v)] = g(2)

f(v₃) = a₁w₁ + a₂w₂ + a₃w₃ → f(v₁) = a₁(2v₃ + w₃) + 3f(-v₃ + )

x = 1 (3w₃) = (2, a₃) (w₃) 1 2

A = (₁) = 2(2, 3)(-2,-1)w₃ a₃

A' (4)

A(-2+)(1)(-3), 3c

f(v

Cambio di base

Una volta costruita la matrice, questa rimane costante — cambio V e psi con base e quello cambia W con le sue coordinate.

Esempio completo

f: R³→R³ lineare

(v) = w

W[D:base canonica di R²] 2 → (x - w) di R¹

Base di W = R³-y[(-2,0)]o {verificare se v₁, v₂ [3w₃ e -4)(+1)]₃ con base di V [det:A[4](x - a)= (12