Equiestensione. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi.

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1. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due

dei quali sono equiestesi.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci

A D

O

B C

K

H  

   

 

Dobbiamo dimostrare che due di questi quattro triangoli sono equiestesi,

AOB

;AOD

;BOC; DOC

 

cioè che hanno la stessa estensione, ovvero la stessa area.

 

I triangoli e sono troppo diversi dagli altri per poter essere equiestesi, uno è troppo

AOD BOC  



grande, l’altro troppo piccolo; prendiamo quindi in considerazione gli altri due, e .

AOB DOC

Per dimostrare la loro equiestensione dobbiamo dimostrare che hanno la stessa area, cioè che il

prodotto della base per l’altezza diviso due dell’uno sia uguale a quello dell’altro.

 

Poiché, però non abbiamo elementi a sufficienza per farlo, dobbiamo avvalerci di altri triangoli, dei

 

quali i due in questione fanno parte, per poi utilizzare la proprietà di equivalenza per

differenza.  

Consideriamo i triangoli e . Questi triangoli sono equiestesi, poiché hanno la stessa base

ACB DBC

BC e altezze congruenti, AH = DK. Di conseguenza, hanno la stessa area. 

Notiamo che ciascuno di questi due triangoli può essere scomposto in altri due: è composto

ACB

    

 

da + ; è composto da + . Vediamo quindi che vi è un triangolo in

AOB BOC DBC DOC BOC



comune ( ).

BOC 

   

Per questo motivo, essendo , deve per forza essere che .

 

ACB DBC AOB DOC

    

Abbiamo quindi dimostrato la tesi del problema.

    

 