Equiestensione. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi.

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Dimostrazione: le diagonali di un trapezio

1. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli, due dei quali sono equiestesi.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci

A D

O

B C

K

H

Dobbiamo dimostrare che due di questi quattro triangoli sono equiestesi, ΔAOB; ΔAOD; ΔBOC; ΔDOC, cioè che hanno la stessa estensione, ovvero la stessa area.

I triangoli ΔAOD e ΔBOC sono troppo diversi dagli altri per poter essere equiestesi: uno è troppo grande, l’altro troppo piccolo; prendiamo quindi in considerazione gli altri due, ΔAOB e ΔDOC.

Per dimostrare la loro equiestensione dobbiamo dimostrare che hanno la stessa area, cioè che il prodotto della base per l’altezza diviso due dell’uno sia uguale a quello dell’altro.

Poiché, però, non abbiamo elementi a sufficienza per farlo, dobbiamo avvalerci di altri triangoli, dei quali i due in questione fanno parte, per poi utilizzare la proprietà di equivalenza per differenza.

Consideriamo i triangoli ΔACB e ΔDBC. Questi triangoli sono equiestesi, poiché hanno la stessa base BC e altezze congruenti, AH = DK. Di conseguenza, hanno la stessa area.

Notiamo che ciascuno di questi due triangoli può essere scomposto in altri due: ΔACB è composto da ΔAOB + ΔBOC; ΔDBC è composto da ΔDOC + ΔBOC. Vediamo quindi che vi è un triangolo in comune (ΔBOC).

Per questo motivo, essendo ΔACB e ΔDBC equiestesi, deve per forza essere che ΔAOB e ΔDOC sono equiestesi.

Abbiamo quindi dimostrato la tesi del problema.