Equazioni e disequazioni, proprietà  generali, equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado

Considerazioni iniziali sulle equazioni

1) Ricerchiamo una funzione f reale di variabile reale. Un problema frequente è quello di determinare i valori di x in corrispondenza dei quali la funzione assume valore nullo, ovvero trovare le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione incontra l'asse delle ascisse.

Per risolvere questo problema bisogna risolvere l'equazione f(x) = 0. Determinare l'insieme degli zeri della funzione, ovvero:

Insieme degli zeri: { x, x ∈ dom f e f(x) = 0 }

2) Più in generale si può fissare un numero reale k e chiedersi se esistono dei punti x in cui f(x) assume il valore k.

f(x) = k

Insieme di livello k: { x, x ∈ dom f e f(x) = k }

3) Un altro problema di natura più generale è quello di considerare due funzioni aventi un certo dominio comune e chiedersi se questi grafi hanno dei punti in comune.

Trovare i valori sull'asse delle ascisse, in corrispondenza dei quali f = g, f(x) = g(x).

Considerazioni generali per introdurre le disequazioni

1) Determinare qual è il sottoinsieme di dom f in cui la funzione f assume valori positivi, per esempio: f(x) > 0.

Ne possiamo avere tutti i casi seguenti:

• x: x appartiene a dom f e f(x) > 0: insieme di positività
• f(x) < 0: insieme di negatività
• f(x) >= 0: insieme di non negatività
• f(x) <= 0: insieme di non positività

2) Lo stesso discorso visto per le equazioni vale anche per le disequazioni: avendo fissato un valore k cerco il sottoinsieme di dom f in cui la funzione sia

• f(x) > k
• f(x) < k
• f(x) >= k
• f(x) <= k

f(x) > k

x

3) Trovare quali sono i punti in cui vale la relazione f(x) > g(x).

• f(x) > g(x)
• f(x) < g(x)
• f(x) >= g(x)
• f(x) <= g(x)

f(x)

g(x)

Il grafico di f è tutto al di sopra del grafico di g.

Quindi abbiamo visto che il grafico di una funzione può essere così detto il metodo di soluzione di equazioni e disequazioni.

Qui di seguito un esempio di soluzione di una equazione col metodo grafico, pertanto dell'equazione y = x² - 9

y = x² - 9

Traslazione nelle y che porta il vertice nel punto -9. Le intersezioni con le ascisse si hanno nei punti +3, -3.

Da quanto detto si può affermare che l'insieme degli zeri è costituito dai punti {-3, 3}.

Insieme di positività: {-, -3} U {3, +}

Ovvero i punti in cui la funzione assume valori strettamente positivi.

Insieme di non positività: [-3, 3]

Consideriamo ora il metodo algebrico facendo alcune considerazioni sui sistemi:

{ f(x) = 0g(x) = 0 }

oppure

{ f(x) >= 0g(x) <= 0 }

Mettere i sistemi si può considerare l'insieme delle soluzioni comuni.

Risolvere la 1a equazione (o disequazione), la 2a equazione (o disequazione) e trovare l'intersezione di questi insiemi, cioè l'insieme degli x che soddisfano entrambe le condizioni.

Risolvere un sistema quindi significa trovare l'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni o disequazioni.

Proprietà generali delle equazioni

1. f(x) = g(x)

2. f(x) = g(x)

Le equazioni 1 e 2 si dicono equivalenti se ogni soluzione di 1 è anche soluzione di 2 e viceversa.

Quando risolviamo algebricamente una equazione, l'idea è di trasformarla in una equazione equivalente più semplice di quella da cui siamo partiti. Partendo da 1, quali sono le operazioni per ottenere una equivalente più semplice? Vediamo le regole.

1. f(x) = g(x)

Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione, che sia definita nell'insieme di definizione comune di f e g, si ottengono equazioni equivalenti.

2. f(x) = g(x) + h(x)

f(x) - h(x) = g(x) + h(x) - h(x)

Si deduce che spostando un termine dell'equazione da un membro all'altro, si cambia di segno.

Infatti: f(x) = g(x) => f(x) - g(x) = 0

f(x) = k => f(x) - k = 0

Possono essere scritte pertanto tutte al primo membro.

Se abbiamo dei termini comuni possiamo semplificarli:

f(x) + h(x) = f(x) + h(x)

Equivale a dire che si sottrae h(x) ad entrambi i membri oppure si porta da un membro all'altro h(x) e cambiandolo di segno e semplificando.

Dal punto di vista algebrico va fatta attenzione al dominio: quando aggiungo ad entrambi i membri dei termini frazionari; es. x² = 4; supponiamo di aggiungere + ¹⁄_x-2,

ottengo: x² + ¹⁄_x-2 = 4 + ¹⁄_x-2   PASSAGGIO SCORRETTO!

È un passaggio scorretto poiché non mi ha trasformato l'equazione espressa in una equazione equivalente perché la soluzione di quella di partenza è {-2, 2} mentre in quest'ultima compare un 2, perde di significato perché viola il senso del simbolo.

L'errore che si è commesso è il seguente: l'equazione x² = 4 ha validità in tutto R mentre + ¹⁄_x-2 ha validità in R \ {2}, quindi si perde una soluzione.

2- Un'altra operazione per ottenere un'equazione equivalente è: moltiplicando o dividendo entrambi i membri per una funzione "h" che sia definita nell'insieme comune di definizione di f e g e tale che h(x) != 0, si ottiene una equazione equivalente.

Proprietà generali delle disequazioni

1) f(x) > g(x)

f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

f(x) - h(x) > g(x) - h(x)

Aggiungendo o sottraendo ai due membri una stessa funzione definita nell'insieme comune dei domini, ottengo una disequazione equivalente.

2) Moltiplicare o dividere entrambi i membri per una medesima funzione definita nell'insieme comune dei domini e strettamente positiva, perché se moltiplichiamo per un termine strettamente positivo si mantiene il segno della disequazione, mentre se moltiplichiamo per un termine strettamente negativo c'è un cambiamento del segno di disequazione. Quindi se moltiplichiamo per h(x) e tale che h(x) < 0, cioè invertiamo il segno, la nostra funzione f(x) > g(x) risulta equivalente a:

f(x)h(x) < g(x)h(x) se abbiamo moltiplicato

^f(x)/_h(x) < ^g(x)/_h(x) se abbiamo diviso

Equazioni e disequazioni di 1^o grado la cui

Funzione è: f(x) = ax + b

Studiamo l'equazione: ax + b = 0

(a = 0) => b = 0

se b = 0 l'insieme delle soluzioni è tutto R

se b ≠ 0 ∅

a ≠ 0 => ax + b = 0; x = -b/a

Graficamente

Trovare l'insieme degli zeri di questa retta.

Quando vogliamo risolvere le disequazioni dobbiamo fare attenzione al segno di "a". Determinare l'insieme degli x per cui:

ax + b > 0; ax > -b

a > 0 => x > -b/a

a < 0 => x < -b/a

Rette con coefficiente angolare positivo

Insieme di positività è l'insieme degli x > -b/a

x = -b/a, valore in cui si ha l'annullamento della funzione

Retta con coefficiente angolare negativo

Insieme di positività è l'insieme degli x < -b/a

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Es. numerica

1) Retta di equazione y = 3x + 5

Soluzioni dell'equazione (insieme x dei termini)

è x = -5/3

Insieme di positività è l'insieme (-5/3, +)

Insieme di negatività è (-, -5/3)

2) Retta di equazione y = -2x + 7

Insieme degli zeri: x = 7/2

Insieme di positività (-, 7/2)

Insieme di negatività (7/2, +)

Equazioni e disequazioni di 2° grado

La cui funzione è y = ax² + bx + c

Studiamo l'equazione ax² + bx + c = 0

a = 1; b = 0 => x² + c = 0; x² = -c

Si tratta di prendere la funzione y = x² e di studiare gli insiemi di livello -c.

y = x²

Se c < 0 => (-c) è positivo

l'insieme di livello (-c) è dato da x₁ = √-c e x₂ = -√-c

c = 0 l'insieme di livello è costituito dalla sola origine poiché x₁ = x₂ = 0

c > 0 => (-c) è negativo e quindi non ci sono soluzioni

L'insieme di livello di c < 0 è costituito da due punti simmetrici rispetto all'origine; dell'insieme vuoto nel caso di c > 0 e dell'origine nel caso di c = 0.

Affrontiamo, ora, un caso generale:

ax² + bx + c = 0

e (x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a² = 0

(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²

È una parabola traslata in modo da avere il vertice nel punto -b/2a di cui vogliamo considerare l'insieme di livello dove il valore delle ordinate è det dell'espressione nel membro sinistro:

(x + b/2a)² = k

o, il segno può dipendere da queste equazioni difficile

del segno del secondo membro e visto che

il denominatore è sempre positivo, dipende

del segno del numeratore -

> 0 la costante è positiva e quindi

abbiamo che l'insieme di livello di

una costante positiva - Si tratta di due

soluzioni.

x₁ = (-b + b² - 4ac) / 2a

x₂ = (-b - b² - 4ac) / 2a

Formule per le soluzioni di un'equazione di II grado.

= 0; x₁ = x₂ = -b / 2a

< 0; l'equazione non ha soluzioni reali -

Notazioni: x₁ + x₂ = -b / a

x₁x₂ = c / a

Nelle disequazioni di 2° grado, del tipo di una funzione, ci rivolgiamo allo studio delle funzioni y = ax² + bx + c, ovvero di una parabola con vertice in (p, q) = (-b/2a, -/4a), come visto nelle scorse lezioni.

"a" mi dice l'operazione di dilatazione o effetto (u = e) -

Se a > 0 l'effetto è quello di vedere la parabola più stretta, più larga.

Se a < 0 l'effetto è quello di essere una parabola alla rovescia.

Il segno di "a" mi dice una parabola con concavità verso l'alto o verso il basso -

La relazione tra "y" ed "a" mi dice dove l'ordinata del vertice -

Supponiamo a > 0 (concavità verso l'alto)

/4a < 0

Avremo una parabola con vertice in una ordinata positiva, i valori assunti dalla funzione ax² + bx + c sono tutti valori strettamente positivi.

Se stiamo svolgendo una disequazione ax²+bx+c > 0 significa che in tutto il dominio si assumono valori positivi, quindi l'insieme delle soluzioni è costituito dai numeri reali R, per le stesse considerazioni se si pone >= 0.

Se, invece, poniamo ax²+bx+c < 0 abbiamo <= 0 che non sono mai soddisfatte.

In questi ultimi due casi l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto.

Se = 0 esiste un punto in cui la funzione si annulla ed in tutti gli altri casi è positivo.

Se > 0 il vertice è strettamente negativo.

Prendiamo in considerazione l'ultimo esempio con > 0 per vedere perfettamente l'insieme delle soluzioni della disequazione ax²+bx+c

> 0

< 0

>= 0

<= 0

a x² + b x + c > 0

L'insieme delle soluzioni è costituito dall'unione delle due semirette 1 e 2 (semirette aperte).

a x² + b x + c >= 0

Alle semirette precedenti aggiungiamo anche i punti di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse (semirette chiuse).

a x² + b x + c <= 0

L'insieme di non positività è costituito dal segmento 3 chiuso.

Riepilogo disequazioni di II° grado

a x² + b x + c > 0

a > 0

x₁     x₂     x₁ = x₂

(esclusi dal grafico i punti in cui si annulla)

2x² + bx + c >= 0

a < 0

x₁      x₂      x₁ = x₂

> 0

= 0

< 0

2x² + bx + c <= 0

a > 0

> 0

x₁      x₂      x₁ = x₂

= 0

< 0

2x² + bx + c >= 0

a < 0

x₁      x₂      x₁ = x₂

> 0

= 0

< 0

Esercizio: -x² + 7x - 10 <= 0

"a" ha coefficiente negativo quindi la concavità della parabola sarà rivolta verso il basso; i punti in cui la funzione assume valore nullo (soluzione dell'equazione)

Si risolve l'equazione -x² + 7x - 10 = 0 e si scopre che le soluzioni sono i punti x es-

Si tratta di una parabola e dato che ci interessano i punti in cui assume valori <= 0 essendo due soluzioni le semirette (-, 2] U [5, +)

Questo esprime sempre e solo l'insieme delle soluzioni di questa disequazione.