Equazioni e disequazioni, fratte, equazioni di grado superiore al secondo

Equazioni e disequazioni

Assumiamo la funzione f(x) = (ex + 5)/(cx + d), il cui dominio è R \ {−d/c}: le soluzioni dell'equazione e della disequazione vanno ricercate nel dominio.

Il grafico, essendo visto essere una iperbole ottenibile da y = 1/x mediante operazioni di omotetie, simmetrie e traslazioni, vediamo anzitutto, ora, il problema di determinare le soluzioni dell'equazione

(ex + 5)/(cx + d) = 0

e della disequazione (ex + 5)/(cx + d) > 0.

Per questo riguardo l'equazione è sufficiente porre il valore x per cui si annulla il numeratore: x = −5/e.

Per questo riguardo la disequazione vediamo di stabilire, sia graficamente costruendo il grafico della funzione, che algebricamente.

Alcune considerazioni: nel caso di (ex + 5)/(cx + d) > 0 avremo che il prodotto sarà positivo quando numeratore e denominatore sono concordi.

L’insieme per cui vale la disequazione è visto come l’unione di altri due insiemi:

Il primo risolve le disequazioni

{ ax + b > 0
cx + d > 0 }

contemporaneamente le prese, cioè l’intersezione fra i due insiemi di soluzioni.

Il secondo risolve le disequazioni:

{ ax + b < 0
cx + d < 0 }

sempre contemporaneamente.

Abbiamo quindi:

{ ax + b > 0
cx + d > 0 } U { ax + b < 0
cx + d < 0 }

Qui di seguito un esempio di disequazione in cui facciamo l’insieme delle soluzioni sia in maniera grafica che algebrica.

25) h(x) = (3x - 1)/(x + 4) < 0

Abbiamo la funzione h(x) e dobbiamo determinare l’insieme dei punti in cui la funzione è < 0.

Dapprima risolviamo l’equazione per trovare gli zeri: h(x) = 0 => x = 1/3.

Per rappresentare graficamente la funzione h devo fare la divisione 3x - 1 : x + 4 ed ottengo che quoziente (3) e come resto (-13).

Quindi h(x) = 3 - 13/(x + 4).

Abbiamo quindi che partendo dall'iperbole y = 1/x arriviamo al grafico delle nostre disequazioni con le seguenti trasformazioni del piano:

da y = 1/x arrivo a y = -13/x.

Il segno "-" indica una simmetria ed il "13" una dilatazione. Arrivo al grafico di questa curva:

Successivamente applichiamo una traslazione dove otteniamo y = -13/(x + 4), che mi porta l'asintoto verticale nella retta x = -4.

Ed infine dobbiamo traslare nella direzione delle y sommando la quantità 3.

Quindi devo determinare le soluzioni in cui f(x) < 0, dal grafico si può notare che la funzione assume valori negativi quando la x sta nell'intervallo x = -4 (posizione in cui troviamo l'asintoto verticale) e x = 1/3 (intersezione con l'asse delle x).

L'insieme delle soluzioni, quindi, è dato dall'intervallo -4, 1/3, in cui è escluso il valore -4 ed è compreso il valore 1/3 perché quest'ultimo risolve l'equazione.

Algebricamente si risolve così:

h(x) = 0; x = 1/3

h(x) < 0; 3x - 1 > 0 e x + 4 < 0 oppure 3x - 1 < 0 e x + 4 > 0.

1) { x > 1/3
x < -4

2) { x < 1/3
x > -4
(-4, 1/3)

Nel caso 1 l'insieme delle soluzioni è

perché non si verificano contemporaneamente le condizioni di essere > 1/3 e < -4.

Nel caso 2 l'insieme delle soluzioni è (-4, 1/3).

e quindi faccio l'unione dei due insiemi ed ottengo (-4, 1/3) = (-4, 1/3).

Considerando che la soluzione dell'equazione era 1/3 concludiamo che le soluzioni

della nostra disequazione è dato da:

(-4, 1/3]

Disequazioni polinomiali di 2° grado

h(x) = (x² - 3x - 10)/(1 - x²) > 0

h(x) = 0; x = -2, x = 5    Soluzioni della equazione

{ x² - 3x - 10 > 0
1 - x² > 0 }

{ x² - 3x - 10 < 0
1 - x² < 0 }

x² - 3x - 10 = (x - 3/2)² - 49/4

È una parabola con vertice nel punto V = (3/2, -49/4) e concavità verso l'alto.

I punti in cui è uguale sono [-2, 5].

Avrò sempre positivo per valori esterni all'intervallo cioè x < -2, x > 5.

Per quanto riguarda il denominatore

-1    1

A questo punto è così:

Da ciò che ci interessa > 0, l'insieme delle soluzioni è ]-2, -1) U (1, 5).

Tenendo conto delle soluzioni ulteriori le soluzioni sono [-2, -1) U (1, 5].

15. (x² - 5x + 6)/(x² + x + 1) <= 0

f(x) = 0; x² - 5x + 6 = 0; x = 2, x = 3.

Numeratore: x² - 5x + 6.

Denominatore: x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4.

Dal grafico si può notare che la funzione è sempre strettamente positiva

e in questo caso, allora, essendo

x² + x + 1 è una quantità positiva per ogni

x R, il segno della funzione f

coincide con il segno del solo numeratore.

NUM

+    -    +

DENOM

Dato che mi interessa ciò ho che

le soluzioni sono x = [2, 3].

(es) f(x) = (2x² + 2x + 1)/(9x² + 1) => funzione sempre strettamente positiva.

Avremo un grafico di questo tipo: il denominatore.

Il numeratore posso scriverlo come:

2(x² + x) + 1 = 2[(x + 1/2)² - 1/4] + 1 = 2(x + 1/2)² + 1/2.

Ed avremo un grafico del tipo:

Per cui se al numeratore e al denominatore ho due funzioni strettamente positive.

Per cui se esistono ad esempio:

(2x² + 2x + 1) / (8x² + 1) < 0    l'insieme delle soluzioni è

Se esistono:

(2x² + 2x + 1) / (8x² + 1) > 0    l'insieme delle soluzioni è R.

Equazioni o disequazioni irrazionali

x^m = k    m 3    k R.

Si traccia il grafico della funzione y = x^m e si trova l'insieme di livello k.

Si procede, cioè, se y il valore k e si cercano le intersezioni tra il grafico e la retta y = k.

Definiamo i casi in cui m è dispari e m è pari:

Per ogni valore k esiste una ed una sola intersezione - 1 sola soluzione per ogni valore di k.

m pari

Con k < 0 non ci sono soluzioni.

Con k = 0 si ha una sola soluzione ovvero x = 0.

Con k > 0 si hanno 2 soluzioni simmetriche rispetto all'origine.

Proviamo a risolvere qualche equazione di grado superiore al secondo.

ax^2m + bx^m + c = 0

a, b, c ∈ R    m ∈ N

m ≥ 2

Ci possiamo ricondurre, tramite sostituzione, alle situazioni viste precedentemente.

Risolviamo tramite sostituzione: t = x^m

Avremo: at² + bt + c = 0   (ottengo equazione di 2° grado).

at² + bt + c = 0

2 soluz. distinte t₁, t₂

x^m = t₁

x^m = t₂

2 soluz. coincidenti t₁ = t₂

x^m = t₁

NON AVERE SOLUZIONI ∅ - ∅

Vediamo alcuni esempi.

x⁴ - 3x² - 4 = 0

x² = t

t² - 3t - 4 = 0

t₁ = -1

t₂ = 4

Viste delle soluzioni dell'equaz. in t.

Quindi tenendo conto che x² = t ottengo:

x² = -1 => non ha soluzioni.

x² = 4 => {+2} soluzioni.

Altro esempio:

x⁶ + 12x³ - 36 = 0

x³ = t

t² + 12t + 36 = 0

(t + 6)² = 0; t = -6

x³ = -6; x = ³√-6 soluzione.

Ultimo esempio:

x¹⁰ + 2x⁵ + 6 = 0

x⁵ = t

t² + 2t + 6 = 0

In questo caso il discriminante = 4 - 4 * 6 < 0 quindi non ci sono soluzioni.

Ci sono casi in cui, polinomi superiori al secondo, riescono a scomporsi in due prodotti di fattori di primo e secondo grado.

f(x) = (x² - 3x + 1)(x² - 2x)

Vogliamo trovare i punti in cui: f(x) = 0 ed f(x) > 0.

Si tratta di equazioni e disequazioni di quarto grado scritte però come prodotto di termini di secondo grado. Si può in questo modo risolvere entrambe le funzioni in questa maniera: per quanto riguarda l'equazione, per la legge dell'annullamento del prodotto, avremo che (x² - 3x + 1)(x² - 2x) = 0 se uno dei fattori è nullo.

Quindi risolveremo la 1° equazione di secondo grado (x² - 3x + 1) = 0, la 2° equazione di secondo grado (x² - 2x) = 0 e prenderemo come soluzioni dell'equazione di quarto grado, l'unione delle due soluzioni.

Allo stesso modo risolveremo le disequazioni (x² - 3x + 1)(x² - 2x) > 0. I fattori devono essere concordi e la soluzione sarà scrivibile tramite sistemi di disequazioni di secondo grado del tipo:

x² - 3x + 1 > 0
x² - 2x > 0

x² - 3x + 1 < 0
x² - 2x < 0

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