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</div>Risolvere il problema di Cauchy
′′
u (x) + u(x) = 2 sin x
u(0) = 1
′
u (0) = −1.
Il polinomio caratteristico è dato da
soluzione. 2
λ + 1
che ha due radici complesse, che sono λ = ±i; ne segue che due soluzioni indipendenti
1/2
dell’equazione omogenea associata sono
u (x) = cos x u (x) = sin x.
1 2
Passiamo ora alla non omogenea; si può cercare la soluzione particolare nella classe di funzioni
date da v(x) = αx sin x + βx cos x.
essendo 1 parte immaginaria della radice caratteristica. Si ha
′
v (x) = α sin x + αx cos x + β cos x − βx sin x
mentre ′′
v (x) = 2α cos x − αx sin x − 2β sin x − βx cos x.
Deve quindi essere 2α cos x − 2β sin x = 2 sin x
per ogni x reale; quindi sarà α = 0 e β = −1. La soluzione particolare allora sarà data da
v(x) = −x cos x.
Allora la soluzione generale è data da
u(x) = c sin x + c cos x − x cos x.
1 2
Dunque si ha 1 = u(0) = c 1
e ′
u (x) = cos x(1 + c ) − sin x(c − x) − cos x
2 1
da cui ′
−1 = u (0) = 1 + c − 1 =⇒ c = −1.
2 2
La soluzione finale è quindi u(x) = cos x(1 − x).
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