Risolvere il problema di Cauchy
\[ \begin{cases} u''(x) + u(x) = 2\sin x,\\ u(0) = 1,\\ u'(0) = -1. \end{cases} \]
Il polinomio caratteristico è dato da
\(\lambda^2 + 1\)
soluzione.
che ha due radici complesse, che sono \(\lambda = \pm i\); ne segue che due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea associata sono
\(u_1(x) = \cos x\), \(u_2(x) = \sin x\).
Passiamo ora alla non omogenea; si può cercare la soluzione particolare nella classe di funzioni date da
\(v(x) = \alpha x\sin x + \beta x\cos x\).
essendo 1 la parte immaginaria della radice caratteristica. Si ha
\(v'(x) = \alpha\sin x + \alpha x\cos x + \beta\cos x - \beta x\sin x\)
mentre
\(v''(x) = 2\alpha\cos x - \alpha x\sin x - 2\beta\sin x - \beta x\cos x\).
Deve quindi essere \(2\alpha\cos x - 2\beta\sin x = 2\sin x\)
per ogni \(x\) reale; quindi sarà \(\alpha = 0\) e \(\beta = -1\). La soluzione particolare allora sarà data da
\(v(x) = -x\cos x\).
Allora la soluzione generale è data da
\(u(x) = c_1\sin x + c_2\cos x - x\cos x\).
Dunque si ha \(1 = u(0) = c_2\)
e
\(u'(x) = c_1\cos x - c_2\sin x - \cos x + x\sin x\)
da cui
\(-1 = u'(0) = c_1 - 1\), da cui \(c_1 = 0\).
La soluzione finale è quindi \(u(x) = \cos x(1 - x)\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
