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Problema di Cauchy
Sia u: R -> R la soluzione del problema di Cauchy.
u'(x) = 4 cos x u(x) + cos x u(0) = 1.
Calcolare u'(0) + u''(0) e u() - u'().
Soluzione
Per la prima richiesta si ha:
u'(0) = 4u(0) + 1 = 5
mentre, derivando l'equazione,
u''(x) = -4 sin x u(x) + 4 cos x u'(x) - sin x
da cui u''(0) = 20; allora u'(0) + u''(0) = 25.
Risolviamo ora l'equazione. Si ha
u(x) = e4 sin x integral cos x e-4 sin x dt = e4 sin x(-1/4 e-4 sin x + c) =
= -1/4 + ce4 sin x.
Imponendo la condizione iniziale si ottiene c = 5/4, da cui
u(x) = -1/4 + 5/4 e4 sin x
e quindi
u'(x) = 5 cos x e4 sin x
da cui u() - u'() = 6.
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