Equazioni differenziali ordinarie

EDO a variabili separabili

Sono EDO del 1^o ordine che si possono ricondurre:

• 1. Si determinano gli zeri di \(y(y)\): se \(u_0\) è tale che \(y(u_0) = 0\)
• 2. Riscrivere \(y' = \frac{dy}{dx}\)
• 3. Dividere \(y(y)\) in modo tale da avere y a sin. e x a destra: \(\frac{dy}{y(y)} = f(x) dx\)
• 4. Applico l'integrale \(\int \frac{dy}{y(y)} = \int f(x) dx\)
• 5. Integrale generale di EDO a v.s.; \(y = G^{-1}(F(x) + c)\)

Esempio

\(y' = \sin(x)(y+1)\)

\(\frac{dy}{dx} = \sin(x)(y+1)\)

\(\log(y+1) = -\cos(x) + c\)

\(y+1 = e^{-\cos(x)} \cdot e^c\)

\(\Rightarrow y = \ldots e^{-\cos(x)} - 1\)

EDO a variabili separabili

Sono EDO del 1° ordine che si possono ricondurre:

• 1) Si determinano gli zeri di \( \dot{y}(y) \): se \( u_0 \) è tale che \( y(u_0)=0 \) \( \Rightarrow u(x)=u_0 \) è soluzione
• 2) Riscrivere \( \dot{y}= \frac{dy}{dx} \)
• 3) Dividere \( y(y) \) in modo tale da avere Y a sin. e X a destra: \(\frac{dy}{y(y)}=-p(x) \cdot dx\)
• 4) Applico l'integrale → \[ \int \frac{dy}{y(y)} = \int p(x) \cdot dx \]
• 5) Integrale generale di EDO a v.s.: \( y= G^{-1}(\mathcal{F}(x) + c) \)

Esempio

\(\dot{y}= -5 \sin(x) \cdot (y+1)\)

\(\frac{dy}{dx}=\sin(x) \cdot (y+1)\)

\( \log(y+1) = -\cos(x) + c \)

\( y+1 = e^{-\cos(x)} \cdot e^c \)

\( \Rightarrow y = \cdot e^{-\cos(x)} -1 \)

Caso con sostituzione

Oppure supponiamo di voler risolvere:

y' = h(a x + b y) = g(z)

z = z(x) = a x + b y

z' = a + b y

z' = a + b h(z) ← funzione a v. s.

d z / d x = a + b h(z)

d z = (a + b h(z)) d x

=> d x = d z / (a + b h(z))

Es.₁

y' = (2 x + y)²

z = 2 + z² → z = 2 x + y

d z / d x = ∫ 2 + z²

=> ∫ z' / 2 + z² = ∫ d x = x + c

∫ d z / 2(1 + (z / √2)²) = 1/2 arcctg(z/√2) + c

arcctg(z/√2) = 2 x + c

Applico tg z / √2 = -tg(2 x + c)

z = 2 x + y

y = z - 2 x => y = √2 tg(2 x + c) - 2 x

EDO lineari I ordine

y'(x) = a(x) · y + b(x)

=> se a(x) = 0 è elementare y'(x) = b(x)

=> se b(x) = 0 (omogenea) diventa un’EDO a v.s.

y' = a(x) · y

d = a(x) · y => = ∫ a(x) · dx

=> log(y) = ∫ a(x) dx

y = e^{∫ a(x) dx}

=> se b(x) ≠ 0

y' = a(x) · y + b(x)

A(x) = ∫ a(x) dx

y = e^A(x) ( ∫ e^-A(x) · b(x) dx )

oppure se

y' + a(x)·y = b(x)

y = e^-A(x) ∫ e^A(x) · b(x) dx

* ∫ a(x) dx = A(x)

Esempio

y' = 2xy + e^x2

a(x) b(x)

A(x) = ∫ 2x = x²

y = e^A(x) ( ∫ e^-A(x) · b(x) dx )

y = e^x2 ( ∫ e^-x2 · e^x2 dx ) = e^x2 (x + c)

Ricordati la costante!!!

Esempio

y' = ₁/^x·y + x²

a(x) b(x)

A(x) = ∫ ₁/^x dx = ln(x)

y = e^ln(x) ∫ e^-ln(x) · x² dx

= x (_x²/² + c)

EDO II omogenee

y''(x) + b y'(x) + c y(x) = 0

• Risolvere l'equazione caratteristica: z² + b z + c = 0 e determinare il = b² - 4c

- > 0, ∃ λ₁ ≠ λ₂ reali e distinti

• => y = C₁ e^λ₁x + C₂ e^λ₂x

C₁, C₂ ∈ R

- = 0, ∃ λ₁ = λ₂ reali coincidenti

• => y = C₁ e^λ₁x + C₂ x e^λ₁x

C₁, C₂ ∈ R

- < 0, ∃ λ₁ ≠ λ₂ complesse

• λ₁ = α + i β λ₂ = α - i β

Coniugate

α = - _w/²

β = _√||/²

=> y = C₁ e^αx cos(β(x)) + C₂ e^αx sin(β(x))

x² + x + 1

-1 ± √(-1)⋅3 = -1 ± i√3 = ₁/² ± i _√3/²

EDO II non omogenee

y''(x) + b y(x) + c y(x) = f(x)

=> y = y_o + y_p

Determinare soluzione dell'omogenea associata risolvendo P(x) z² + bz + c = 0 e determinando il Δ

=> y_o = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x)

Determinare soluzione particolare

Se f(x) è un polinomio

ax² + bx + c = 0

c ≠ 0

ax² + bx + c = 0

Porre y = ax + b, y' = a, y'' = 0

Troviamo i valori di a, b sostituendo nella EDO

=> y_p = ax + b

stesso grado EDO

c = 0, b ≠ 0

ax² + bx = 0

Porre y' = 2ax + b, y'' = 2a

=> y_p = ax + b

grado EDO + 1

c = 0, b = 0

ax = 0

Si risolve integrando due volte f(x)

Attenzione alle costanti !!!

Esempio

c = 0, b = 0 ⇒ y'' = b(x)

• 𣏕[y']' = y' = B₁(x) + c₁
• 𣏕y' = y = 𣏕[B₁(x) + c₁]^'dx = B₂(x) + c₁(x) + C₂

⇒ y(x) = B₂(x) + c₁x + C₂

Esempio

c ≠ 0 ⇒ y'' + 2y' + y = x² + 3x - 1

Cercato un polinomio con lo stesso grado di R(x):

y_p(x) = Ax² + Bx + C

y'_p(x) = 2Ax + B

y''_p(x) = 2A

2A + 2(2Ax + B) + Ax² + Bx + C == Ax² + (4A + B)x + 2A + 2B + C == x² + 3x - 1

Per il principio d'identità dei polinomi

A = 1

B = -1

C = -1

y_p = Ax² + Bx + C = x² - x - 1

y(x) = y₀ + y_p = C₁e^-x + C₂e^-x + x + x² - x - 1

Casi con esponenziale

- Se r(x) = p(x) \cdot e^{\alpha x}

\alpha non è radice di p(\lambda) \Delta \leq 0

\Rightarrow \overline{y} = e^{\alpha x} \cdot q(x) q(x) stesso grado di p(x)

\alpha è uguale ad una soluzione distinta di p(\lambda) \Delta > 0

\Rightarrow \overline{y} = e^{\alpha x} \cdot x \cdot q(x) q(x) stesso grado di p(x)

\alpha è uguale a due soluzioni coincidenti di p(\lambda) \Delta = 0

\Rightarrow \overline{y} = e^{\alpha x} \cdot x^2 \cdot q(x)

Una volta determinato y_p in funzione di A,B,C, determinare y''_p, y'_p e sostituire nella EDO

Casi con seno e coseno

- Se r(x) = (p(x) \cdot \cos(\beta x) + z(x) \cdot \sin(\beta x)) \cdot e^{\alpha x}

Grado p(x) = m Grado z(x) = l

\alpha + i \beta non è radice di p(\lambda)

\Rightarrow \overline{y} = e^{\alpha x} \left( q(x) \cdot \cos(\beta x) + s(x) \cdot \sin(\beta x) \right) \Rightarrow \text{Grado } q = \text{Grado } s = \max \{m,l\} q(x) \neq s(x)

\alpha + i \beta è radice di p(\lambda)

\Rightarrow \overline{y} = x^a \cdot e^{\alpha x} \left( q(x) \cdot \cos(\beta x) + s(x) \cdot \sin(\beta x) \right) La molteplicità di \alpha + i \beta \quad a \geq 1 Grado q = \text{Grado } s = \max \{m,l\} \text{Se } \beta \neq 0 \quad \Rightarrow \quad l=1 \text{Se } \beta = 0 \quad \Rightarrow \alpha + i \beta = \alpha \quad \Rightarrow l = 1 \cdot a = 2

Esempio

y"^l + y" - 2y = 3 e^-2x

z² + z - 2 = 0

z = 1

y₀ = c₁ e^x + c₂ e^-2x

l = -2

soluzione semplice

f(x) = 3 e^-2x

y_p = B • e^ax

y^l_p = B e^-2x - 2B e^-2x

y"_p = -2B e^-2x - 2B e^-2x + 4B e^-2x

sostituendo in y", y' - 2y = 3•e^-2x

=> y(x) = c₁ e^x + c₂ e^-2x - x • e^-2x

=> B = -2

Esempio

y" + y = 3 cos x

eq. omogenea

y" + y = 0

l = 0

b = 3

=> ±i

± b di 3cosx è soluzione

y_p = x(A cos x + B sin x)

y'_p = A cos x - B sin x + x(-A sin x + B cos x)

y"_p = 2B cos x - 2A sin x + x(-A cos x - B sin x)

sostituendo => 2B cos x - 2A sin x = 3 cos x

2A = 0

A = 0

{2B = 3 } => y_p = ³/₂ x

B = 3/2

soluzione generale: y(x) = c₁ cos x⁴ + c₂ sin x + ³/₂ x