Equazioni Differenziali

Equazioni differenziali

Equazioni la cui incognita è una funzione. La funzione compare con le sue derivate.

Esempio 1

y'(x) = xy(x)? Incognita y(x) = ∫ g(x) c(x) x dx = x²/2 + cy'(0) Pr problema di Cauchy Condizione iniziale y(0) = 0 y(x) = x²/2 + c1 = 0² / + c → c = 1 y'(x)=f(x) → y(x) = ∫ f(x) dx

Esempio 2

y'(x) + tg(x) = xy(x) = x - y(x). Non si può procedere come prima perché non possiamo trovare una primitiva di g(x). Le frecce rappresentano la direzione delle derivate in ogni punto. Una soluzione y = x - 1. Verifica (x - 1) = x.

Equazioni differenziali

Equazione la cui incognita è una funzione. La funzione compare con le sue derivate.

Es. 1

y'(x)=x. Incognita: y(x)=∫g(x)dx=∫xdx= x²/2 + Cy'(x₀) = 0. Problema di Cauchy. Condizione iniziale y(x)= x²/2 + Cy(x₀) = y₀1= 0²/2 + C→ C = 1.

Es. 2

y'(x)+tg(y(x))=xy(x)= x-y(x). Non si può procedere come prima perché non possiamo trovare una primitiva di g(x). Le frecce rappresentano la direzione delle derivate in ogni punto. Una soluzione y= x-1. Verifica (x-1)= xy(x) + y(x) = x.

Equazione differenziale lineare

Eq. differenziale lineare (equazione lineare ordinaria di 1°) del primo ordine (grado di derivazione) y(x) + y(x) = x.

Si moltiplica per un fattore integrante, in questo caso e^x. e^xy(x) + e^xy(x) = x e^x.

D(e^x y(x)) = e^x x: Ora abbiamo, con condizione ideale: derivata della f.ne uguale alla k, possiamo quindi integrare ∫D(e^xy(x)) dx = ∫e^x x dx => e^xy(x) = ∫e^x x dx + c: g(x) = e^x(∫ e^x x dx + c)e^-x.

∫e^x x dx: e^xx|e^x-e^-x. g(x) = x - 1 + c e^-x. a) g(0) = 0 y₀(0) = -1|c = 0 => c = 1.

In generale

y + a(x) g(x) = b(x). Eq. differenziale lineare del 1° ordine (a coefficienti non costanti).

Fattore integrante: A(x) e^∫a(x). A(x) = una primitiva di a(x). D(e^A(x) g(x)) = e^∫A(x) f(x).

e^A(x)y(x) + ∫a(x) g(x) = e^∫A(x) b(x). e^A(x)g(x) = ∫A(x) g(x) si integra.

y(x) = e^-∫a(x)dx [∫ e^∫a(x)dxc dx + C. Formula risolutiva y'(x) + g(x) x = ⇒ a(x) = 1 f(x) = x A(x) = x y(x) = e^-∫x |e^∫xdx.

L'importante é ricordare: la costante arbitraria basta il risultato é sbagliato.

Esempio

y(x) y'(x) = f(x)=4x² a(x) = -1 ⇒ A(x) = log x ⇒ e^A(x) = |x| g(t) = -∫xg(t) = 0 g(x) = 1/|x| [| | 4x² dx = x = x₀ y(x)= x ∫ 1/x [| 4x x⁴ dx= = x^x 1/x³ (y'= x(sub>-4+c)= = |^(3)(C/x 0 = g(1)= =(-1)³ = x0 diff non la condizione basi che per x0 l'eq integrale che x=1 e dei dei per 'x=1' ) ε ε.

Verifica g(x) = 3 - 1/x1/2 | x ^2/x| e^ty.

ES.{( e^x + 1 ) ẏ(x) - ḡ(x) = ( e^x + 1 ) e^xy(b) = 1} ẋ = ( e^x + 1 )e A(x) = ∫ dx = ∫ 1A(x) = ∫ 1 dx = ∫∫ dx =e = ( e^x + 1 )= ln ( e^x + 1 )e A(x) = e^-xg(x) =.

In fine g(x) =X + e^{x -3}e^x + 1C = 3.

ES.{ẏ(x) + 2x ẏ(x) = 3x + 4 g(0) = 5g(x) espisto a ∞g(x) = e^-x2 B(x³ + 4) g(x) =lim e^{-x2x g} -d B(x³ + 4)lim e^{x2 + 4.}

Ta qui la primitiva non si prova a inserire 2 estremi dell'integrale {g(0) = ∫[ 2 (B(x⁴ + 3 lim g(0) = lim- x ² e ... (3x + 4)C = 5.

y''(x) + 2y(x) = 3e^-2xg(x) = 3xA: x = 2, e^A(x) = e^-2xe^A(x) = x e^-2 = A = 2xg(b) = 1g(x) = 1/e² ∫e^2x e^-2x3 = x = A.

In fine g(x) = BX + 1/e^3x e^-2xy = | y_f |.

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

a_n y⁽ⁿ⁾(x) + a_m y^(m-1)(x) + ... + a₀ y(x) = f(x) ordine n. y = e³.

ESE.

y''−3y' + 2y = x².

• Si prende prima la parte omogenea e si risolve.

y(x) = y_o(x) + y_g(x). La soluzione sarà data dalla somma di: quella omogenea e quella particolare.

y''−2y' + y = 0. y = e^2xy^2,3 y = 2y.

Polinomio caratteristico: λ²−3λ+2=0, (x−2)(x−1)=0. y' = 0 y = xy_o = C₁ + C₂e^x2xλ₂=1.

Si prendono le soluzioni e si costruiscono gli esponenziali in questo modo. y_o = C₁ + C₂xy' y − e^2x = 0. y_o(x) = C₁e^x + C₂x e^x.

Se le soluzioni sono distinte si hanno un numero di esponenziali uguale al numero delle soluzioni con ciascuno il rispettivo esponente.

In generale

a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₀ = 0.

Fattorizzazione

• (zⁿ - 1) ⇾ ^md_x ⇾ ²d_x ⇾ ... ⇾ z...z ⇾ n fattori
• (z² + 1)ⁿ ⇾ grado complessivo: 2m - auto
• Δ_ko ↘ d_x e^iβx ⇾ e^l ecosβx
• ↘ x e^x senβx x e^x d_x

ES. 1 - Parte omogenea

y(x) - 2y(x) - 3y(x) = 0 z² - 3z - 3 = 0 z_1,2 = ^{2 ± √16}/₂ (z+1)(z-3) = 0.

g⁽¹⁾₀(x) = c₁e^3x + c₂e^-x.

ES. 2

y(x) + 4y(x) + 6y(x) + 10 = 0 z² + 4z + 6 = 0 (z+2)² = 0 ⇒ z = -2 ordine 2.

g₀(x) = c₁e^-2x + c₂xe^-2x.

ES. 3

y + 2y₁ + 5y = 0 z² + 2z + 5 = 0 -2 ± √4 - 20 / 2 = -1 ± 2iy_g(x) = y_g(x) = e^-x(c₁ cos(2x) + c₂ sen(2x)).

ES. 6.1

g(x) - g'(x) = 0. g(0) = 1. g(0)' = 6. g(x) = c₁e^3x + c₂e^x.

y(x) = c₁e^3x + c₂e^x. g(x) = 3c₁e^3x + c₂e^x.

c₁ + c₂ = 13. c₁ + c₂ = 6. c₁ = 5/2. c₂ = -3/2.

ES. 5

f(x) = 16 g(x) lim (x->4)= g(x) = 3G(x) = 0. Se il limite v. +/- oo di convergenza dell'integro = 0.

ES. 6

f(x) = gg(0) = h₀ g(6) = v₀. Ora ci occupiamo di trovare la soluzione particolare. Questa è la forma della f.n.e. a queste fa si associa un numero z₁+jβ si determina la molteplicità m di z₁β nel pol. caratteristico.

y_p(x) = e^βx [ P_m(x) cos βx + Q_m(x) sen βx ] ← Polinomi generici di grado ≤ a quello di P(y_k)^(g) = g_yy_h(0) = h₀(y)_g(0) = v₀0+i0=0.

y(x) = C₁ ⋅ i^χ + C_h + ( t e^βx xⁱ )²ᴧῸᴿᴇᴿᴵᴬm = 2z² = 0.

(y_R)^(g)(x) = x ⋅ Ag_x(x) = 2x ⋅ A g^x(x) = 2A2A = gA = ^g/₂g_k(x) = ½ g x²(y^(x)) + 3(y^(x)) + 8xz³ + Β2z² = 0z[(z+3)-0z = 0ord. 1z-3-ᓘᓗ-3ᓛ.

y_h(x) = C₄ e^x + C_x g_x e^-3xa(x) = C₄ x + e^βx = A)b_x(x) = (A - (C_xf) = A³+b χa(x) => b(x) => h = 0.

Ha multiplicítà δ nel polinomio caratteristico m = zg_χ(c) = z (AХ+B) = A0+Z³ .....y(x) = (v aA+B) x6Α+3 (6Aχ+Β) = 8χ18Αx=8χ A=1/2C(A+ḐAχ+⌑∃Σ∃χ3χCA +5(6Ax +Ƀ) 9χ8Α+5Α+Ƀ(J(x)) = 6A.

g(x) = C₁ ⋅ i^χ + C_x + e^-3x− ³/₂ χ³ −⃡1−1/3χ².

y(x) = e^2x ⋅ (P₁(x) cos βx + Q₁(x) sen βx)θ = β. Bisogna controllare come si comporta questo numero rispetto al polinomio caratteristico (molteplicità).

y_m(x)= x^m ⋅ e^αx (Q₁(x) cos βx + Q₂(x) sen βx) 3:y'_{ y″(x) -2y′(x)-y(x)= x - e^3x(x) = C₁ + C₂e^2x.

ES.²− 2−0 ℤ(−2)−0 −0. Sapere per una possa per l'(. La molteplicità a nel pol. caratteristico g_{(x)= X ((x+ ){'A₁Ax + BxG²(x)= 2A + B2A-2(ax+5)xg_(x)=g_ek(x)+te^-3x3.

Molteplicità a nel pol. caratteristico+ em =-2 e^{{_q}= paralel}0₁ g_(x) = S A e^3x∫e^xcos x dxz=0 =>1y₀(x)=C₁g(x)=e^x∙cos(x)g_x(x) = xy_∞ cos y_∞ mod. g(x) = 0.

Continua...

Eq. diff. a variabili seperabili (non lineare)

y^-1(x) = g¹(x)z:=0 g(x)=±x⁷y²(x) g′(x) − g²(x).

• y₀(x)−g₁(x)0 ≠ +∫ y′(x) (y(x)− g⁻¹(x))⁻²X_∞ ∫y′(x)−g(x)g(y) ∫ (dy/y−g)y−g = x−x₀

1/(1−y)A/(g−y) + B/(g) + 1/(−g)⇒ ∫ dy/y + ∫dy/−g = ln|g|−ln|y|=ln|y/g|x = loglog (g(x))y: = log (g(x)/(1−g(x)))x=log g(x)^xg(x)/(1−g(x))e^x/(1+e^x)x=0g(x)=e^x = e^xg(x)g(x)+e^xy²(x)=e^xy(x)= e^x/(+e).

In generale

• y'(x)=a x : b y(x) (y₀ - ʸ₀) / (b(y₀)) x = ∫^x_x₀ - a(x) dx →
• ∫^y_y₀ dy / b(y) = ∫^x_x₀ a(x) dx
• H(g(x)) - H(g₀) = A(x) - A(x₀)
• H(g(x)) = A(x) - A(x₀) + H(g₀)

g(x)=h^-1(A(x) - A(x₀) + H(g₀)).

ES.

{ y'(x) = 2 x (g(x))²y(0) = 1y / (g(x)) = 2x x₀ ed. potenziale ∫^x y / (g(x))² dx = ∫^x 2x dx →∫^x dy y² x = ∫^x 2x dx→1 / g(x) - 1 / x²→1 / y = x².

(x+1) y'(x) = x (y(x)-1)y(0) = ∞g(x) =g(y) =₁ dxg(y(x)-1)g(y)x / x² +1dy / y-1 = yx / x+1ln (y(x)-1) ⁰ y(x)½ ln (x² +1)ln (g(x)-1) =½ ln (1 + x²)y(x) = 1 - √(1+x²)g(x) =g(x) = 1 - √(1+x²)∞ ẟ S.I.

g(x) = 2x (cos (x))^xg(y(x)-1) =cod x=0g(cos x²+1)lim g(x)(x→+∞)dy = ∫ x dxtg (g(y)) = [x²]cos (g)^1-₀tg g(x) = x²g(x) = arctg (x)² |x| > 1y(x) = arctg (x) + π/2lim g(x-y) gt x→-∞ y→1^-x-2-₁