Equazione differenziale ordinaria 26

Risolvere il problema di Cauchy

 u″(x) − u(x) = 2e^x

 u(0) = 1

u′(0) = 2.



Il polinomio caratteristico è dato da

λ² − 1

soluzione.

per cui le due soluzioni dell’omogenea associata sono

u₁(x) = e^x e u₂(x) = e^−x.

Cerchiamo una soluzione particolare della forma

v(x) = αxe^x.

Si ha

v′(x) = αe^x + αxe^x

v″(x) = 2αe^x + αxe^x

da cui, come al solito dovrà essere, sostituendo nell’equazione:

2αe^x = 2e^x

per ogni x reale, quindi α = 1. La soluzione particolare è data da

v(x) = xe^x.

Allora tutte le soluzioni sono date da

u(x) = c₁e^x + c₂e^−x + xe^x.

La condizione u(0) = 1 dà c₁ + c₂ = 1

mentre la condizione u′(0) = 2 porta a c₁ − c₂ + 1 = 2.

Ne segue facilmente c₁ = 1 e c₂ = 0.

Allora la soluzione finale è

u(x) = e^x(x + c₁).