Equazione di Newton

Eq. di Newton

y'' = f(y)

uniche p.m. = forza che dipende dalla posizione

y = y(x)

Moltiplico a sx e a dx per y'

y'' y' = f(y) y'

1/2 d/dx [y'(x)]² = d/dx F(y(x))

F primitiva di f

disegno

allora l'oscillatore non è derivata <=> differenza per una costante

1/2 [y'(x)]² - F(y(x)) = Ep = cost. ∀ x ∈ I

Ep Etot

Condizioni di Cauchy

condizioni di Cauchy - > Perturbaz relativa delle condizioni iniziali -> valori iniziali delle y e valori iniziali delle velocità

y(x0) = y0

y'(x0) = v0

allora E non zero di E = 1/2 v⁰ - F(y0) = cost.

E è anche funzione di due variabili y e v > E(y0, v0)

detta integrale-tanto dell'EQ di Newton

E(y,v) = 1/2 v² - F(y)

le curve di livello di E (curve dove E assume valore cost.) sono rappresentate tramite /o materia. dell'eq. differenziale, curva da tutti i pi ti detto (y(x), y'(x)) al variare di x in cui y è soluzione dell'EQ diff.

disegno

piano delle fasi

le curve di livello di E(y,v) sono dette orbite

Per... unità della soluzione 2o2T però ma interocamo

Eq. di Newton

y'' = f(y) multiplo: m . a = Forza che dipende dalle posizioni

y = y(x)

Moltiplico a sx e a dx per y'

y'' . y' = f(y) . y'

1/2 d/dx [y'(x)]² = d/dx F(y(x))

↑ primitiva di f ↓ dove F è l'unica altra nome derivata ↔ differenziale per una costante

1/2 [y'(x)]² - F(y(x)) = E

↑ Ecin ↑ Ep ∀ x ∈ I _EU.TOT.

Condizioni di Cauchy

condizion di Cauchy → per trovare valore delle

→ condizione iniziali

→ valore iniziale della y e valore iniziale della (velocità

y(x₀) = y₀

y'(x₀) = v₀

Allora diciamo che E = 1/2 v² - F(y₀) = cost.

E è anche sulle fuse di due variabili (y e la v) → E(y₀, v₀)

detta integrale primo dell'Eq. di Newton

E(y, v) = 1/2 v² - F(y)

le curve di livello di E (Curve che E assume valore cost.) sono rappresentate tramite le soluzioni delle Eq. differenziale, ovvero da tutti i pti di detta (y(x), y'(x)) al variare di x∫ con y e derivate dell'equaz diff.

Piano delle FASI

le curve di livello di E(y, v) sono dette ORBITE

Per l'unità della soluzione 2o bibl' → spartita m. INTERSEZIONE

Esistenza e unicità

Si può studiare l'esistenza e unicità dei (cq) ordinato in questo modo

pongo y₁ = y ; y₂ = y' ma derivando ottengo

y₁' = y' = y₂ ⇒ y₁' = y₂ e y₂ = y'' = f(y₁)

(te) con e y = y₁

y₁' = y₂ , y = [y₁ y₂] ⇒ y' = f(y) = [y₂ f(y₁)]

a cui associare condizione 2, x soddisfare th. 3. serve che:

• F(y₁) sia continua
• F(y₁) sia derivabile con derivata continua

Sotto le hp già viste per l'equazione del 1° ordine anche l'equazione di Newton ammette soluzioni. Ha cause reali?

Ex. Massa legata ad una molla

Massa legata ad una molla —> legge molla

L'equazione della molla

m = 1 kg

x = tempo

m = 1 kg

y'' = -k(y) + g

f(y) e' quella

E(y₁, v) = 1/2 v² - (k/2 y² + gy) ↕ Eu for elastica | Eu for gravitazionale

⇒ E(y₁, v) = 1/2 v² + k/2 y² - gy

Fissare iniziaienti le costanti (fino ai valori di E) corresponsabile le soluzioni del sistema di equazione diff.

y₁' = y₂

y₂' = -ky₁ + g

Vediamo E: E(y₁, v) = E₀ cost. → 1/2 v² + k/2 y² - gy = E₀

1/2 v² + k/2 (y - g/k)² - 1/2 g²/k = E₀