Meccanica dei Fluidi - Eq di Navier Stokes/Flussi interni/Eq di Reynolds

Argomenti lezioni

Analisi delle deformazioni di un fluido

Lezione del 12 martedì 17 novembre 2020, 16:22

• Fluido ideale
• Fluido reale:
  1. Fluido Stokesiano
  2. Fluido Newtoniano
  3. Equazione costitutiva dei fluidi Newtoniani

Equazioni da premettersi per studiare il moto di un fluido

• Eq di continuità: div &v& + ∇(ρ &v&) = 0 → Conservazione della massa.
• Eq. implicita di equilibrio dinamico → ρ(Ф – &x&) = ∇Ф → Bilancio delle quantità di moto.
• Eq. di stato → ρ = ρ(p, ˜Θ) → Processi isoteri → ρ = ρ(p).
• Fluido incompressibile → ρ = ρ = const.

Corrispondenza con equazioni reali

Variabili che caratterizzano il moto di un fluido: ρ, p, μ, ν, ∇(μ_∞, ν (rə and ğ mga), (рэ Õç)(é)), Ф(x, y, z χ ẋ θo ζy τ) = 10!

Per caratterizzare completamente il moto di un fluido occorrono oltre 5 equazioni che sono ricavate nel comportamento reologico del fluido, ovvero come si deforma "il fluido" sotto una certa impon.

Analisi deformazione di un fluido

• Fluido ideale
  • Per istanti di fluido ideale: Ф = P&fr;z - Ⅰ => ˟ r = z = &zeta = P &implant; y, z &kitx; x&cup nα = - => 5 eq., 5 incognite → Eq. 1^a Eulero.
• Fluido reale
  • p (x + dx, y + dy, z + dz, t-t₀)  → Moto stazionario

Lezione del 12 martedì 17 novembre 2020, 16:22

Equazioni che permettono di individuare il moto di un fluido

• Eq di continuità → ∂ρ/∂t + ∇(ρ v) = 0 → Conservazione della massa.
• Eq. impulsi dei fluidi ideali → ρ(F - ) = ∇Φ → Bilancio della quantità di moto.
• Eq. di stato → ρ = ρ (, ĝ) → Processi isotermi → ρ = ρ (Φ).

Fluido incomprimibile → ρ = cost.

Corrispondenza a equazioni di relazioni

Equazione della caratterizzazione di un fluido: ρ, μ, λ, ∇(v_∞ - v (ρ, , ĝ, (_i))), Φ (, ₁, ₂, _xy, (x_z, _{y λ})) = 10!

Per caratterizzare completamente il moto di un fluido occorrono oltre 5 equazioni che sono di ricerca nel comportamento reologico del fluido, ovvero come si deforma "il fluido" sotto uno stato di sforzo.

Analisi deformazione di un fluido

• Fluido ideale
  • Per istanti t: fluidi ideali: Φ = Ä → ∂x = ∂y = ∂z = § (x, x), x_yz = x_ya = x_{y Φ} = Φ → 5 eq. - 5 incognite → Eq 1^a Eulero.
• Fluido reale
  • ρ (x+dx, y+dy, z+dz, t-t₀) ⇒ Moto stazionario

xPo (x, y, z, t₀)

V_o = ∇(Po) § V̅ = ∇̅ (P)v̅₀ = v̅(P₀) ⇔ v̅ = J(P)⇒ v̅ = v̅₀ + _(∂v̅)/_(∂x)⎢_{x₀,y₀,z₀} dx + _(∂v̅)/_(∂y)⎢_{x₀,y₀,z₀} dy + _(∂v̅)/_(∂z)⎢_{x₀,y₀,z₀} dz

v̅ = v̅₀ + Â * u̅₀ rc

Dove:
v̅ = v̅_x v̅_y v̅_z; dx = ⎡dx⎤ ⎢dy⎥ ⎣dz⎦; Â = ⎡_{(∂u̅/∂x)}⎤ ⎢_{(∂u̅/∂y)}⎥ ⎣_{(∂u̅/∂z)}⎦

Possibili effetti dello spostamento da P₀ a P

• Traslazione rigida
• Deformazione lineare
• Rotazione rigida
• Deformazione angolare

Studiamo gli effetti di vari elementi su un 'elementino' di fluido. Per semplicità e chiarezza si farà riferimento al sistema bidimensionale.

a. t = t₀ + dt v₀ ha causato una traslazione rigida → per capire gli effetti di → devo scomporla: → = D̅ + Ŵ̅

D̅ = 1/2 * ⎡ _{((∂u̅/∂x)} + (∂v̅/_∂x)) ⎤ ⎢ ((∂u̅/∂y) + (∂v̅/∂y)) ⎥ ⎣ ((∂u̅/∂z) + (∂v̅/∂z)) ⎦

Ŵ̅ = 1/2 * ([ _{((∂v̅/∂y)} - (∂u̅/_∂y)) ⎤ ⎢ ((∂v̅/∂z) - (∂u̅)