Percorso didattico sull'ellisse con Cabri e Derive: Studio analitico in 4 lezioni e test finale

Concetta Guido, L'ellisse con Cabri

Progetto

L'ellisse con Cabri

di Concetta Guido

concetta.guido@libero.it

Presentazione

L’obiettivo didattico del Progetto è lo studio dell’ellisse da un punto di vista analitico.

Il Progetto è strutturato in 4 Lezioni, suddivise in paragrafi, nei quali verranno trattati specifici argomenti.

Una Introduzione illustrerà, sinteticamente, la linea di sviluppo del Progetto e alcuni esempi rappresentativi del mondo reale.

Un Test finale, a risposta multipla, offrirà la possibilità di verificare le conoscenze apprese.

Il tempo medio di fruizione dell’intero modulo è di 4 ore.

Articolazione del Progetto

• Introduzione
• Lezione 1: Definizione ed equazione canonica dell’ellisse
• Lezione 2: Metodi per tracciare l’ellisse
• Lezione 3: Proprietà e caratteristiche dell’ellisse
• Lezione 4: Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni
• Test finale

Articolazione dei contenuti

Lezione 1: Definizione ed equazione canonica dell’ellisse

In questa lezione si considererà una proprietà caratteristica che consentirà di enunciare una nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla relativa sezione conica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di questa curva notevole. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri Géomètre.

Lezione 2: Metodi per tracciare l’ellisse

In questa lezione si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con il software Cabri Géomètre.

Lezione 3: Proprietà e caratteristiche dell’ellisse

In questa lezione si illustreranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse: simmetrie, vertici, fuochi, limitatezza, eccentricità, posizioni retta-ellisse. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri Géomètre.

Lezione 4: Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni

In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive.

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 2

Vantaggi della presente trattazione

Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole, poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle connessioni tra di loro.

C’è una miglior ritenzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini piuttosto che solo parole.

Lo studente assume una posizione centrale rispetto all'utilizzazione delle informazioni; non più costretto a seguire gli imperativi della linearità testuale, capitolo dopo capitolo, l’allievo sceglie quali informazioni visitare; manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi informativi, sceglie snodi diversi.

La lezione è implementata da supporti altrimenti non possibili (immagini in movimento, simulazioni) che favoriscono negli allievi un atteggiamento partecipativo.

Utilizzando Cabri Géomètre può costruire oggetti geometrici, manipolarli modificando la costruzione eseguita, quindi verificare quali relazioni si mantengono o variano nel corso di tali manipolazioni.

Grazie all’integrazione della capacità numerica, algebrica e grafica di Derive molti esercizi possono essere affrontati meglio rispetto ai metodi tradizionali. Invece di disperdersi in noiose tecniche di calcolo si può concentrare nella risoluzione dell’esercizio visualizzando le soluzioni in diversi modi.

Collocazione nel curricolo

Il Progetto è rivolto ad una classe III del Liceo Scientifico, indirizzo PNI. L’argomento, trattato nel 2° quadrimestre, va inserito nel Modulo “Sezioni coniche” della programmazione curricolare di Geometria Analitica e collocato dopo la Circonferenza.

Obiettivi didattici

Obiettivi cognitivi

• Conoscere alcuni esempi di forme ellittiche reali
• Comprendere la definizione di ellisse come luogo geometrico
• Conoscere l’equazione cartesiana dell’ellisse
• Conoscere alcune costruzioni geometriche dell’ellisse
• Conoscere le principali caratteristiche di tale curva chiusa
• Comprendere le reciproche posizioni retta – ellisse
• Comprendere l’applicabilità dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni
• Comprendere la proprietà ottica e acustica dei fuochi

Obiettivi operativi

• Riconoscere l’equazione di un’ellisse e tracciarne il grafico
• Eseguire alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con Cabri Géomètre
• Individuare le sue principali caratteristiche
• Scrivere l’equazione di un’ellisse note alcune sue caratteristiche
• Determinare le reciproche posizioni retta – ellisse
• Applicare l’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni
• Saper risolvere esercizi con l’utilizzo del software Derive

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Obiettivi formativi

• Affinare la precisione del linguaggio e la coerenza argomentativa
• Acquisire conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione
• Utilizzare metodi, strumenti e modelli matematici in situazioni diverse
• Riesaminare criticamente e sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite
• Sviluppare e potenziare le attitudini sia analitiche che sintetiche

Prerequisiti

• Calcolo algebrico
• Equazioni e disequazioni algebriche
• Sistemi di grado superiore al primo
• Concetto di funzione
• Grafico di funzione
• Conoscenze di base di geometria sintetica piana
• Nozioni fondamentali di geometria analitica (luogo geometrico; retta; circonferenza)
• Trasformazioni geometriche: simmetrie
• Costruzioni geometriche elementari
• Utilizzo dei software Derive e Cabri Géomètre

Metodologie didattiche

• Lezione interattiva
• Esercitazioni guidate in laboratorio di informatica
• Socializzazione dei risultati di laboratorio
• Approfondimento e consolidamento concettuale ed applicativo

I contenuti si svilupperanno attraverso un alternarsi coordinato di informazione ed applicazione. Ciascun argomento sarà trattato in modo da stimolare l’interesse, la curiosità e la riflessione degli alunni. Massima cura sarà dedicata alla coerenza argomentativa.

Le lezioni saranno di tipo interattivo e supportate da attività guidate di laboratorio informatico.

Il test finale consisterà in una prova strutturata a risposta multipla. Ogni quesito sarà scelto con cura e formulato in modo univoco e chiaramente comprensibile; inoltre avrà uno spazio temporale determinato.

Mezzi e strumenti

• Videoproiettore
• Schede di lavoro per l’attività di laboratorio informatico
• Software didattici: Derive e Cabri Géomètre
• Laboratorio di informatica
• Scheda per il test finale

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Funzione formativa della multimedialità

Un ambiente formativo multimediale è un ambiente nel quale operano secondo rapporti integrati media diversi - audiovisivi, informatici, telematici - e quindi linguaggi diversi - analogici, digitali, virtuali. In tale contesto il computer multimediale, grazie alla sua straordinaria polivalenza comunicativa, è destinato ad occupare la scena sempre più massicciamente. Un ambiente multimediale è costituito da un software ipermediale che coordina congiuntamente più sistemi simbolici (testo, audio, immagini, animazioni, ecc.). A media diversi corrispondono abilità cognitive diverse e aspetti diversi della realtà raggiungibili con essi.

Dall’integrazione delle tecnologie ipertestuali con le tecnologie multimediali si originano i sistemi ipermediali, capaci di gestire immagini, suoni, testi e animazioni, permettendo l'accesso ai vari tipi di informazione in modo non sequenziale.

Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole, poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle connessioni tra di loro.

C’è una miglior ritenzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini piuttosto che solo parole.

Sotto il profilo cognitivo, l'ipermedia sembra quindi assecondare due aspetti centrali del modo in cui l'essere umano conosce: la multimedialità innesca azioni di rinforzo-integrazione tra gli emisferi cerebrali, intrecciando le sollecitazioni dei linguaggi analogici e digitali; l'ipertestualità accompagna lo svolgersi del pensiero attraverso il reticolo associativo.

L'ipermedialità potenzia una didattica per concetti e favorisce negli allievi un atteggiamento partecipativo. L'allievo vede, ascolta, manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi informativi, sceglie snodi diversi. Il lettore assume una posizione centrale rispetto all'utilizzazione delle informazioni; non più costretto a seguire gli imperativi della linearità testuale, capitolo dopo capitolo, il lettore sceglie quali informazioni visitare.

E' questa la strada attraverso la quale si sta affermando una concezione "antropocentrica della tecnologia informatica applicata alla didattica e alla formazione".

Nello stesso spirito, si apre la strada alla costituzione delle "comunità di apprendimento": un modello di formazione alternativo a quello tradizionalmente scolastico e vicino a quello dell'apprendistato, della formazione sul lavoro, delle comunità scientifiche. Si tratta di gruppi eterogeni (pari, esperti, insegnanti); che prevedono una condivisione di compiti e degli strumenti; che incorporano momenti di "apprendistato cognitivo", nei quali ci si interroga e si interroga su quanto si sta facendo, si chiedono consigli, si socializzano difficoltà e competenze. Sotto il profilo tecnico, le comunità possono formarsi utilizzando gli ambienti di authoring multimediali e le tecnologie telematiche per la comunicazione in rete, attuando, in questo secondo caso, delle comunità virtuali on line.

La formazione on line è dotata di molti vantaggi. Per esempio, essa riproduce in una situazione di indipendenza spazio-temporale (la lezione on-line può essere seguita nel momento voluto, nel posto voluto, con i tempi voluti), dinamiche comunicative di tipo dialogico (uno a uno), frontale (uno a molti), collaborative (molti a molti). Essa favorisce atteggiamenti collaborativi e interattivi, permette di individualizzare l'offerta formativa; promuove l'iniziativa e l'individuazione di più percorsi di ricerca e approfondimento da parte dei discenti; presenta una grande flessibilità rispetto alle necessità didattiche e metodologiche del corso; consente di monitorare in tempo reale i livelli di apprendimento e di valutare in itinere sia il corso che i partecipanti.

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Lezione tradizionale e lezione on-line a confronto

Lezione tradizionale: inizia ad un orario prefissato in una aula precisa; l’alunno in genere è passivo per la maggior parte della lezione; il docente decide la struttura della lezione (sempre sequenziale); il docente è al centro dell’attenzione.

Lezione on-line: la lezione ha inizio quando lo decide l’alunno, al massimo si decide la durata massima; l’alunno è attivo e si muove all’interno della lezione; è incuriosito e affascinato dalle nuove tecnologie (un libro elettronico "vivo", che parla e che suona, è sicuramente più interessante ed accattivante di uno di tipo cartaceo, anche se fatto benissimo); l’alunno decide la struttura della lezione (struttura a rete); la lezione è al centro dell’attenzione; la lezione può essere implementata da supporti altrimenti non possibili: immagini in movimento, suoni, filmati, giochi, simulazioni.

Conclusioni

Nell’attuale società, la tecnologia si pone come un valido e funzionale strumento nel veicolare ed ampliare la conoscenza. Assistiamo ad una crescente complessità e varietà di sapere che, grazie alle moderne tecnologie telematiche, è divenuto sempre più accessibile e personalizzabile sia nei modi sia nei tempi e negli spazi.

Per secoli l’apprendimento delle conoscenze è avvenuto mediante quello che gli psicologi definiscono il “modo simbolico–ricostruttivo”. In questo modo si utilizza il linguaggio scritto in maniera sostanzialmente totalizzante e autosufficiente.

Ma esiste anche un altro tipo di apprendimento che si ha osservando, toccando, modificando e riosservando gli effetti che conseguono all’azione, riprovando, cambiando qualcosa e di nuovo osservando i risultati: è questo ciò che gli psicologi chiamano apprendimento “percettivo-motorio”.

È un apprendimento generato dai continui cicli di percezione ed azione.

E' un apprendimento non circoscritto in un luogo ben preciso e delimitato (l’aula).

Lo studente non svolge più un ruolo passivo, ricettore del sapere divulgato dall’insegnante ma ha un ruolo attivo, di attore nella selezione, fruizione e gestione del sapere.

Per quanto riguarda l’insegnante anche il suo ruolo sarà sempre più di manager della conoscenza che trasforma la didattica tradizionale in un sistema aperto capace di adattarsi velocemente e continuamente ai diversi contesti, di essere proattivo. Dalla tradizionale figura dell’insegnante depositario del sapere che trasmette in modo unidirezionale allo studente, in un ambiente circoscritto, ad un insegnante attore che sembra più un manager della conoscenza, un consulente nel processo di maturazione intellettuale degli allievi.

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Ellisse

Indice

• Introduzione
• Abstract
• L’ellisse nella realtà
• Esempi pratici per ottenere un ellisse
• Esempi di forme ellittiche reali
• Lezione 1: Definizione ed equazione canonica dell’ellisse
• Definizione di ellisse
• Equazione canonica dell’ellisse
• Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y
• Lezione 2: Metodi per tracciare l’ellisse
• Metodo 1
• Metodo 2
• Metodo 3
• Lezione 3: Proprietà e caratteristiche dell’ellisse
• Simmetrie
• Intersezione con gli assi coordinati
• Fuochi
• Una proprietà ottica dei fuochi
• Limitatezza
• Eccentricità
• Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse
• Area della regione delimitata dall’ellisse
• Retta – ellisse
• Lezione 4: Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni
• Esercitazione con DERIVE
• Test finale
• Appendice
• Approfondimento 1
• Approfondimento 2
• Approfondimento 3
• Bibliografia

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Introduzione

Abstract

Studiare, tracciare, classificare linee curve è stata una delle principali occupazioni dei matematici, a cominciare dalla retta e dal cerchio, con i quali ebbe origine la geometria, per poi passare alle sezioni coniche, che sono state oggetto di studio per molti secoli.

Una delle quattro sezioni coniche è l’ellisse.

In campo fisico e tecnico, l’ellisse costituisce uno strumento espressivo di rappresentazione e di schematizzazione di notevole efficacia.