Elettromagnetismo in Latex

Elettromagnetismo

Francesco Bondini

May 2022

Contents

1 Elettrostatica 5

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Lavoro ed energia del campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Lavoro ed energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Calcolo di potenziali di campi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Definizione generale di energia potenziale per sistemi di cariche . . . 13

1.4 Conduttore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Definizione e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Cavità di un conduttore - cavità vuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Cavità di un conduttore - cavità con carica Q . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Campi di cariche libere e di polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.2 Dielettrico normale e omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.3 Dielettrici nei condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Modello microscopico dei dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 4 Contents

2 Correnti 25

2.1 Moto di cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Correnti di cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Conservazione della carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Correnti stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Generatori di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Magnetismo 33

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Prima legge elementare di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Enunciato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.2 Calcolo di campi magnetici utilizzando la legge di Laplace . . . . . . 35

3.3 Seconda legge elementare di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Forze agenti su conduttori percorsi da corrente . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Interazione tra conduttori percorsi da corrente . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Teorema di Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1 Enunciato e dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.2 Corollario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.3 Calcolo di campi magnetici con il teorema di Ampère . . . . . . . . . . 42

3.5 Dipoli e spire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.1 Approfondimento sul dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.2 Dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6 Campi magnetici nella materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Chapter 1 Elettrostatica

1.1 Introduzione

Nel corso della storia numerosi esperimenti hanno osservato forze di attrazione e repulsione non riconducibili a fenomeni già conosciuti come la gravità. Questo ha portato alla definizione di una grandezza fisica detta carica elettrica (indicata con q e avente unità di misura il Coulomb, C), e alla formulazione della legge di Coulomb che, in modo simile alla legge di gravitazione universale rispetto alle masse, descrive l’interazione che avviene tra corpi dotati di carica.

Possiamo esprimere la legge di Coulomb in forma vettoriale, la forza che agisce su q in virtù 1 dell’interazione con q è 2 q q1 1 2 ⃗⃗ − −(⃗r ⃗r ) = F (1.1)F = 1 2 2112 3|⃗r − |4πϵ ⃗r0 1 2−12 2 2·Dove ϵ = 8, 85 10 C /N m ed è detta costante dielettrica nel vuoto.0

Osservazioni importanti:

• La carica è quantizzata: possono esistere solo multipli interi della carica dell’elettrone;
• Conservazione della carica: la carica totale di un sistema isolato rimane invariata.

Se sono presenti più cariche, per il principio di sovrapposizione N N1 q q 1 qX X0 i i⃗ ⃗ ⃗− − ⇒F = (⃗r ⃗r ) = q (⃗r ⃗r ) F = q Eris 0 i 0 0 i 03 3|⃗ − | |⃗ − |4πϵ r ⃗r 4πϵ r ⃗r0 0 i 0 0 ii=1 i=1N 1 qX i⃗ ⃗−E = (⃗r ⃗r ) = E(⃗r ) (1.2)0 i 03|⃗ − |4πϵ r ⃗r0 0 ii=1 56 Chapter 1. Elettrostatica

⃗Il campo elettrico E è una nuova grandezza fisica (unità di misura N/C, è facile notare ⃗ ⃗ ⇒ ⇒che F //E ed in particolare se q > 0 stesso verso, q < 0 verso opposto.0 0

Ogni carica è quindi sorgente di un campo elettrico nello spazio (ad esempio q ). q risponde 2 1 quindi in base al campo presente in quel punto. Non è una forza a distanza che avviene istantaneamente, è una forza legata alla perturbazione del campo, che viene ”comunicata” tramite le onde elettromagnetiche.

Caso importante: dipolo (due cariche di segno opposto e uguale modulo ad una certa ⃗distanza). Cerchiamo l’espressione di E a grande distanza −Q |⃗r − |

• I Collochiamo +Q in ⃗r e in ⃗r , si ha ⃗r = d− −+ +⃗
• II Dalla definizione di E Q1 Q⃗ − − −E = (⃗r ⃗r ) (⃗r ⃗r ) (1.3)−+3 3|⃗r − | |⃗r − |4πϵ ⃗r ⃗r−0 +| −→
• III A grande distanza (|⃗r +∞) − −Q(⃗r ⃗r ) Q(⃗r ⃗r ) Q1 −+⃗ − −= (⃗r ⃗r ) (1.4)E = − +3 3 3|⃗r | |⃗r | · |⃗r |4πϵ 4πϵ0 0 ⃗ ⃗−
• IV Si usa definire il momento di dipolo p⃗ = Q(⃗r ⃗r ) = Qd, quindi E del dipolo a −+grande distanza è −⃗p1⃗E = (1.5)34πϵ r0

1.2 Teorema di Gauss

⃗Si definisce flusso di E attraverso una superficie S orientata (per ogni punto esiste un verso normale, che, in una superficie chiusa, è sempre rivolto verso l’esterno) Z⃗ ⃗ ·Φ(E) = E ⃗u dS (1.6)nS

⃗Sia S una superficie chiusa arbitraria. Il flusso di E uscente da tale superficie è pari a q cont⃗Φ(E) = (1.7)ϵ 0 dove q è la carica netta inclusa in S.cont

1.2. Teorema di Gauss 7

• I Considero una sola carica puntiforme q posta nel centro di una superficie sferica Σ di 0 raggio a. (figura 1.1) 1 q 0⃗E = ⃗u (1.8)r24πϵ r0 Quindi, sui punti della superficie Σ (r = a)1 q 0⃗E = ⃗u (1.9)r24πϵ a0≡Per ogni dΣ ⃗u ⃗u , perciò r n I II q q1 10 0⃗⃗ · ·E ⃗u dΣ = (⃗u ⃗u )dΣ = dΣ (1.10)Φ(E) = n r n2 24πϵ a 4πϵ a0 0Σ Σ ΣR 2 Essendo dΣ = 4πa (perché è una superficie sferica), allora Σ q 0⃗ (1.11)Φ(E) = ϵ 0
• II Consideriamo ora una superficie S più generale contenente un unica carica puntiforme q . (figura 1.1)0
• (a) La superficie è posta ad una certa distanza r da qmin 0
• (b) Considero quindi una superficie sferica Σ di raggio a < r centrata in qmin 0
• (c) Dividiamo Σ in parti infinitesime e tracciamo da q semirette che passano per il 0 bordo di dΣ, queste intersecano S e definiscono su questa una porzione dS. In questo modo abbiamo associato un dS ad ogni dΣ
• (d) DS = dScosθ =⇒ dS /dΣ = r /a (figura 1.2)⊥ ⊥ 21 rdS⊥ = dΣ (1.12)dS = 2|cosθ| |cosθ| a
• (e) Quindi 2I I Iq q 1 r1 10 0⃗ ⃗ · · ·Φ(E) = E ⃗u dS = (⃗u ⃗u )dS = (⃗u ⃗u ) dΣn r n r n2 2 2|cosθ|4πϵ r 4πϵ r a0 0S S S (1.13)· |cosθ| dove (⃗u ⃗u ) = cosθ si semplifica con essendo l’angolo sempre compreso r n tra 0° e 90°. Con altre ovvie semplificazioni si giunge a q 0⃗Φ(E) = ϵ 0
• III Generalizzando ulteriormente, per una superficie S di forma arbitraria (figura 1.3).
• (a) Ad ogni dΣ associamp un numero dispari di dS 8 Chapter 1. Elettrostatica S dSdΣ ⃗udΣ⃗uq nn0a q 0Σ Σ Figure 1.1: Individuazione della porzione dΣ di superficie sferica e della porzione associata dS di superficie generica.⃗E⃗E dSθdΣ dS cos θ⃗EFigure 1.2: Proiezione di dS

1.2. Teorema di Gauss 9

• (b) Per ciascuno di questi dS vale 21 q r q1 10 0⃗ ⃗ · ·dΦ(E) = E ⃗u dS = (cosθ) dΣ = dΣ (±1) (1.14)n 2 2 2|cosθ|4πϵ r a 4πϵ a0 0 e sarà + quando il campo esce da S (angolo compreso tra 0° e 90°), - quando entra in S (angolo compreso tra 90° e 180°)
• (c) Perciò i contributi dei vari dS si annullano a coppie, essendo dispari ne rimane sempre solo uno uscente, complessivamente quindi il risultato ottenuto precedentemente continua a valere per una qualsiasi superficie chiusa q 0⃗Φ(E) = ϵ 0
• IV Consideriamo invece una carica puntiforme all’esterno di una generica superficie chiusa S (figura 1.3).
• (a) Procedendo come prima individuiamo una superficie sferica Σ di raggio a < rmin
• (b) Per ogni dΣ associamo un numero questa volta pari di dS, ad ognuno corrisponde un contributo q1 0⃗ ·dΣ (±1) (1.15)dΦ(E) = 24πϵ a0
• (c) Ma essendo in numero pari, al netto per ogni dΣ associo un dΦ nullo. Quindi in questo caso ⃗Φ(E) =0 (1.16)
• V Considerando infine N cariche, in parte all’interno e in parte all’esterno di una generica superficie S chiusa, per il principio di sovrapposizione NX⃗ ⃗E = E (1.17)ii=1⃗in ogni punto dello spazio. (dove E è il campo elettrico generato dalla carica i-esima)i Quindi !N N NI I IX X X⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗·Φ(E) = E⃗u dS = E ⃗u dS = E ⃗u dS = Φ ( E ) (1.18)n i n i n i iS S Si=1 i=1 i=1 Per i risultati ottenuti nei punti precedenti sappiamo che se la carica i-esima è interna, ⃗ ⃗Φ (E ) = q /ϵ , mentre se q è esterna Φ ( E ) = 0. Quindi i i i 0 i i iN 1q XX X i⃗ = qΦ (E ) = ii i ϵ ϵ0 0 contconti=1 q cont⃗⇒ Φ(E) = (1.19)ϵ 0

Si può usare il teorema di Gauss per dimostrare le funzioni che descrivono il campo per particolari distribuzioni di cariche 10 Chapter 1. Elettrostatica q 0 dΣS Σ ⃗u n⃗u ndS S2dS1dΣq dS0 3 dS⃗u 1 dSn 2⃗u nΣ ⃗u nFigure 1.3: Proiezioni di dΣ su superfici chiuse generiche. Disegno a sinistra relativo al caso con carica interna, disegno a destra relativo al caso con carica esterna

1.3 Lavoro ed energia del campo elettrostatico

1.3.1 Lavoro ed energia potenziale

Se consideriamo una carica Q posta nell’origine di un sistema di riferimento, la forza esercitata Q su una carica arbitraria q è 0 1 q Q0⃗ ⃗u (1.20)F = re 2|⃗r |4πϵ0

Che è chiaramente una forza centrale, quindi è conservativa, infatti BB ZZ 1 q Q0⃗L · ·= F d⃗r = ⃗u d⃗r (1.21)ee r24πϵ r0AA

Possiamo riscrivere d⃗r = dr⃗u + rdθ⃗u . Dato che dr⃗u ⃗u = 1 e rdθ⃗u ⃗u = 0r θ r r θ rBZ 1 q Q 1 q Q 1 q Q0 0 0L − − −∆U= dr = + = U (A) U (B) = (1.22)e e e e24πϵ r 4πϵ r 4πϵ r0 0 B 0 AA

Dove U è l’energia potenziale elettrostatica e vale e q Q1 0U = + C (1.23)e 4πϵ r0

Se sono presenti più cariche, per il principio di sovrapposizione N N 1 q qX X 0 i⃗ ⃗F = F = ⃗u (1.24)ris i r2 i4πϵ r0 ii=1 i=1

1.3. Lavoro ed energia del campo elettrostatico 11N N NX X XL − −∆U= L = ∆U = =⇒ U = U (1.25)tot i i tot tot ii=1 i=1 i=1

1.3.2 Potenziale elettrostatico

Si possono ripetere gli stessi calcoli in funzione del campo elettrico ottenendo che BZ 1⃗ · (−∆U ) (1.26)E d⃗r = eq 0A

Possiamo quindi definire una sorta di energia potenziale per unità di carica che prende il nome di potenziale elettrostatico (unità di misura Volt, 1V = 1J/C) UeV = (1.27)q 0 si definisce di conseguenza la differenza di potenziale elettrostatico tra due punti dello spazio BZ ⃗ ·− − E d⃗r (1.28)∆V = V V =B A A

Dalle proprietà di conservatività

• ⃗R ·E d⃗r non dipende dalla curva γ scelta, ma solo dai suoi estremi γ
• ⃗ ⃗H ·su una qualsiasi curva chiusa, la circuitazione di E vale E d⃗r = 0γ

Supponiamo di spostare una carica q inizialmente ferma da un punto A ad un punto B in 0 modo che in B sia ancora ferma (∆E = 0). Spostamento fatto da una forza esterna che K svolge un lavoro L = ∆E = ∆E + ∆U = ∆U (1.29)est M K

Possiamo quindi definire operativamente la differenza di potenziale L est− (1.30)∆V = V (B) V (A) = q 0

Notiamo che la definizione riguarda ∆V , per definire V in un punto arbitrario P bisogna conoscere almeno il potenziale in un altro punto K. Allora in P 12 Chapter 1. Elettrostatica Ω∞+→r Ω ′PQ rP PFigure 1.4: Rappresentazione grafica del metodo per calcolare il potenziale in un punto arbitrario P da un punto Ω in in cui V (Ω) = 0ZZ ⃗ ⃗· ⇒ − ·− − E d⃗r V (P ) = V (K) E d⃗r (1.31)V (P ) V (K) = γ γ

Tipicamente ci si riferisce ad un punto Ω tale per cui V (Ω) = 0, in modo che Z ⃗ ·− E d⃗r (1.32)V (P ) = γ

Non sempre è possibile, ma in molte situazioni è utile porre Ω all’infinito.

1.3.3 Calcolo di potenziali di campi notevoli

Ad esempio considerando una carica puntiforme +Q centrata nell’origine, fissiamo Ω in un →punto dove ⃗r = r ⃗u con r +∞. Consideriamo quindi l’integrale scritto in precedenza Ω Ω x Ω sulla curva γ (figura 1.4) e dividiamolo nei due tratti Z Z Z⃗ ⃗ ⃗− · − · − ·V (P ) = E d⃗r = E d⃗r E d⃗r (1.33)′ ′γΩP γΩP γP P

⃗ ⃗′Lungo il tratto P P lo spostamento infinitesimo dr sarà sempre perpendicolare al campo E, l’integrale su quel tratto sarà quindi 0. Possiamo quindi scrivere il potenziale di un punto arbitrario in un campo generato da una carica puntiforme come segue ′PZ Z 1 Q 1 Q⃗− · −V (P ) = E d⃗r = dr = (1.34)24πϵ r 4πϵ r′ 0 0 PγΩP Ω

Per il principio di sovrapposizione possiamo usare questa formula per ottenere il valore del potenziale di un campo elettrico generato da una distribuzione discreta di cariche Q (usando i 1.3. Lavoro ed energia del campo elettrostatico 13 una sommatoria) o continua di cariche dq (usando un integrale).

Per esempio calcoliamo il potenziale elettrico per un guscio carico di raggio R. Sappiamo che il campo elettrico nello spazio vale (0 r<R⃗E(r) = (1.35)Q1 ⃗u r>Rr24πϵ r0

• I Per simmetria (come per il campo) V = V (r) ⃗R− ·
• II Ponendo V = 0 all’infinito vale l’integrale scritto in precedenza V (P ) = E d⃗r γΩP
• III Per r > R rZ 1 Q Q1− (1.36)V (R) = dr =24πϵ r 4πϵ r0 0+∞
• IV Per r < R bisogna fare attenzione, l’integrale non è zero, perché dobbiamo sempre avvicinarci da +∞ Rrr ZZZ ⃗⃗⃗ ·· −· −− E d⃗r (1.37)E d⃗rE d⃗r =V (P ) = +∞R+∞

L’integrale nella regione racchiusa dalla superficie vale 0, quindi per r < R1 QV (r) = V (R) = (1.38)4πϵ R0

Possiamo quindi rappresentare un grafico in funzione di r del potenziale elettrico per un