Elettromagnetismo

Elettromagnetismo

June 9, 2021

2 Contents

I Elettromagnetismo 7

1 Campo elettrostatico 9

• 1.1 Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.1.1 Le particelle atomiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.1.2 Forza elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.1.3 Forza elettrostatica e forza gravitazionale . . . . . . . . 10
• 1.2 Campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.2.1 Linee del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.3 Lavoro e potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 1.3.1 Calcolo del potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . 13
• 1.3.2 Gradiente del potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 La legge di Gauss 17

• 2.1 Flusso del campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.1.1 Legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.1.2 Dimostrazione legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 2.2 Applicazioni della legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 2.2.1 Simmetria sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 2.2.2 Simmetria cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Conduttori 23

• 3.1 Conduttore cavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 3.1.1 Cavità vuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 3.1.2 Conduttore cavo + conduttore interno . . . . . . . . . 25
• 3.2 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 3.2.1 Condensatore piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 3.2.2 Condensatore cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 3.2.3 Collegamento di condensatori . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 3.2.4 Energia del condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Dipoli e dielettrici 33

• 4.0.1 Gradiente in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 4.1 Dipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 4.1.1 Forza su un dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . 34

34 Contents

• 4.2 Dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.2.1 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.2.2 Polarizzazione dei dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.2.3 Energia potenziale e densità volumetrica di energia . . . 37
• 4.3 Induzione dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Corrente 39

• 5.1 Intensità di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 5.1.1 Densità di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 5.1.2 Verso della corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 5.1.3 Corrente stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 5.2 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 5.2.1 Legge di Ohm globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 5.2.2 Effetti termici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 5.2.3 Effetto Joule e potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 5.2.4 Conduttività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 5.3 Resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 5.3.1 Resistori in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 5.3.2 Resistori in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 5.4 Forza elettromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 5.5 Carica e scarica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 5.5.1 Carica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 5.6 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Campo magnetico 49

• 6.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 6.1.1 Forza di Lorentz su un conduttore percorso da corrente . 49
• 6.1.2 Moto di una carica in un campo magnetico . . . . . . . 50
• 6.2 Momenti meccanici su circuiti piani . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 6.3 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 55

• 7.1 Campo magnetico prodotto da una corrente . . . . . . . . . . 55
• 7.1.1 Campo magnetico di una carica in moto . . . . . . . . 55
• 7.1.2 Campo magnetico di un filo rettilineo . . . . . . . . . 56
• 7.1.3 Campo magnetico di una spira circolare . . . . . . . . 58
• 7.2 Legge di Ampére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 7.2.1 Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Campo magnetico nella materia 65

• 8.0.1 Tipologie di sostanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 8.1 Magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 8.1.1 Legge di Ampere con magnetizzazione . . . . . . . . . . 69
• 8.1.2 Legge di Gauss per il campo magnetico . . . . . . . . . 70

Contents 5

9 Formulario 71

• 9.1 Campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
• 9.2 Campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6 Contents

Part I Elettromagnetismo

7

Chapter 1 Campo elettrostatico

1.1 Legge di Coulomb

1.1.1 Le particelle atomiche

A livello atomico la materia è costituita da 3 particelle:

Definizione 1.1. Carica elementare La carica e è la carica più piccola registrata sperimentalmente ed è il valore assoluto della carica di elettroni e protoni, essa prende il nome di carica elementare: e = 1.6022 10⁻¹⁹ C (1.1)

La carica totale di un atomo, o di un qualsiasi corpo composto da atomi, è data dalla somma algebrica delle cariche elementari, in base alla somma si può avere:

• Corpo neutro: la somma è nulla
• Carico negativamente: la somma è negativa
• Carico positivamente: la somma è positiva

1.1.2 Forza elettrostatica

Due cariche diverse possono interagire in due modi:

9

10 Chapter 1. Campo elettrostatico

• Repulsione: se le cariche hanno lo stesso segno
• Attrazione: se le cariche hanno segno diverso

Per definire quantitativamente questa interazione è necessario conoscere la forza che lega le due cariche. Consideriamo due cariche puntiformi q1 q2, indichiamo con u il versore del vettore r che unisce le due cariche, la forza che q1 esercita su q2 viene definita dalla legge di Coulomb:2 Legge di Coulomb

Teorema 1. La forza elettrostatica è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. F = k el q1 q2 / r² u (1.2)

Se il prodotto delle cariche è positivo allora la forza è repulsiva, viceversa se il prodotto è negativo allora la forza è attrattiva.

Costante dielettrica

La costante k, per ragioni pratiche, si può esprimere come: k = 1 / 4πϵ0 = 9 10⁹ N m² / C², dove ϵ0 è la costante dielettrica del vuoto il cui valore è 8.854 10⁻¹² C² / N m².

1.1.3 Forza elettrostatica e forza gravitazionale

Si nota subito che la legge di Coulomb è molto simile alla legge di gravitazione universale (??).

Analogie e differenze

Le analogie tra le due forze sono:

1. Dipendenza da una costante universale
2. Si esercitano su una coppia di corpi che interagiscono tra loro
3. Sono direttamente proporzionali al prodotto tra i corpi che le generano
4. Sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza
5. Le due forze agiscono lungo il segmento che unisce i due corpi, considerando uno dei corpi come centro, entrambe sono forze centrali

Le differenze sono:

1. La forza gravitazionale è sempre attrattiva, mentre la forza elettrostatica può essere anche repulsiva
2. La forza gravitazionale si esercita su ogni tipo di corpo, mentre la forza elettrostatica solo su corpi carichi elettricamente.
3. La forza elettrica è molto più intensa di quella gravitazionale, per dimostralo basta calcolare l’interazione elettrostatica e gravitazionale tra nucleo ed elettrone di un atomo di H secondo il modello di Bohr.

1.2. Campo elettrostatico 11

1.2 Campo elettrostatico

Visto che la forza elettrostatica è una forza centrale, allora è possibile definire un campo elettrostatico, ovvero una regione dello spazio in cui si può esprimere la forza in funzione della posizione. Consideriamo un insieme di cariche che interagiscono con una carica q0, per il principio di sovrapposizione, la forza che subisce q0 è data dalla somma delle forze elettromagnetiche tra le cariche e q0.

Ftot = Σ Fi = q0 Σ 1 / 4πϵ0 qi / ri² ui

Definizione 1.2. Campo elettrostatico di un sistema di cariche ferme il campo elettrostatico prodotto in un punto P da un sistema di cariche ferme è definito come la forza elettrostatica risultante F che agisce su una carica di prova q0 posta in P divisa per la carica stessa.

E = F / q0 = Σ 1 / 4πϵ0 qi / ri² ui (1.3)

Mentre il campo di una carica singola è E = 1 / 4πϵ0 q1 / ri² ui.

1.2.1 Linee del campo

La presenza di una carica, grazie al proprio campo elettrostatico, modifica lo spazio circostante e ogni carica che si trova in un qualsiasi punto dello spazio risente dell’interazione con il campo. Per rappresentare graficamente il campo elettrostatico si utilizzano le linee del campo.

12 Chapter 1. Campo elettrostatico

Figure 1.1: Campo elettrostatico puntiforme

Caratteristiche delle linee del campo:

• Ogni linea del campo è tangente e concorde al campo elettrostatico
• Le linee del campo sono più dense dove il campo è più intenso
• Le linee del campo non si incrociano mai, il campo è definito univocamente in ogni suo punto
• Le linee del campo hanno origine dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative

Figure 1.2: Campo elettrostatico con 2 cariche

1.3 Lavoro e potenziale elettrostatico

Come già osservato, la forza elettrostatica è una forza centrale e quindi, come ogni forza centrale, è conservativa. Scriviamo la forza elettrostatica come il prodotto tra una carica sonda e il campo elettrostatico in cui è immersa e studiamo l’espressione del lavoro che compie la forza per spostare da A a B la carica sonda:

WAB = ∫A^B F el · ds = q0 ∫A^B E · ds = q0 VAB

Dove VAB è la differenza di potenziale elettrostatico tra il punto A e il punto B.

VB − VA = ∫A^B E · ds (1.4)

Visto che ad ogni forza conservativa è associata un’energia potenziale possiamo definire l’energia potenziale elettrostatica come: F-F.Uee = Ue = q0 VAB (1.5)

1.3. Lavoro e potenziale elettrostatico 13

1.3.1 Calcolo del potenziale elettrostatico

Consideriamo il campo generato da una carica puntiforme, calcoliamo la differenza di potenziale da 1.4.

VB − VA = ∫A^B E · ds

Sostituiamo la definizione del campo puntiforme visto che ds rappresenta la variazione della distanza r tra la carica e la carica sonda.

∫A^B E · ds = ∫A^B q / 4πϵ0 r² dr = q / 4πϵ0 (1 / rB − 1 / rA)

Da cui ricaviamo l’espressione del potenziale: V(r) = q / 4πϵ0 r (1.6)

Da essa è possibile ricavare l’espressione dell’energia potenziale tramite la relazione 1.5 Nel caso di un sistema discreto di n cariche si applica il principio di sovrapposizione e si ottiene che il potenziale elettrostatico prodotto è uguale alla somma dei potenziali elettrostatici prodotti singolarmente dalle cariche.

V(x, y, z) = Σ qi / 4πϵ0 ri

Se invece il campo è prodotto da una superficie continua basta sostituire la sommatoria del caso discreto con un integrale.

V(x, y, z) = ∫ dq / 4πϵ0 r = 1 / 4πϵ0 ∫ dq / r

dq rappresenta l’elemento infinitesimo di carica e si considera come il prodotto tra l’elemento infinitesimo di volume e la densità di carica presente in quel volume. Può anche essere che dq riguardi elementi di superficie o elementi lineari.

14 Chapter 1. Campo elettrostatico

1.3.2 Gradiente del potenziale

Abbiamo visto come ricavare la differenza di potenziale tra due punti tramite l’integrale di linea del campo elettrico, è possibile anche compiere il procedimento opposto, ovvero calcolare il campo elettrico partendo dal potenziale. Per farlo si utilizza il gradiente del potenziale, esso è un vettore che ha per componenti le derivate parziali del potenziale:

gradV = (∂V / ∂x, ∂V / ∂y, ∂V / ∂z) (1.7)

Consideriamo una carica immersa in campo elettrico, essa subisce uno spostamento infinitesimo da A(x, y, z) a B(x + dx, y + dy, z + dz). Esprimiamo la variazione infinitesima di potenziale (1.6):

dV = − E · dr = − Ex dx − Ey dy − Ez dz

Possiamo inoltre definire la ddp infinitesima tramite il gradiente:

dV = V(x + dx, y + dy, z + dz) − V(x, y, z) = ∂V / ∂x dx + ∂V / ∂y dy + ∂V / ∂z dz

Confrontando le due espressione si nota facilmente che:

Ex = − ∂V / ∂x, Ey = − ∂V / ∂y, Ez = − ∂V / ∂z

Da cui si conclude la relazione.

Definizione 1.3. Campo E come gradiente di V Il campo elettrostatico è uguale in ogni suo punto al gradiente del potenziale elettrostatico in quel punto cambiato di segno E = − gradV (1.8)

Osservazione 1.3.2.1. Per le caratteristiche del vettore gradiente si osserva che:

• Il gradiente è il vettore che punta sempre verso la massima crescita di V, quindi per la relazione 1.3 il campo elettrostatico punta sempre verso la massima diminuzione di V
• Il gradiente è sempre perpendicolare ai punti in cui la funzione, il potenziale, è costante; quindi il campo elettrostatico è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali

Definizione 1.4. Superficie Equipotenziale Una superficie dello spazio 3D in cui il potenziale elettrostatico ha sempre lo stesso valore è detta superficie equipotenziale V(x, y, z) = costante (1.9)

1.3. Lavoro e potenziale elettrostatico 15

Osservazione 1.3.2.2. Si osserva che:

• Per un punto passa una e una sola superficie equipotenziale
• Le linee del campo sono ortogonali in ogni punto alle superfici equipotenziali (seconda osservazione precedente)

16 Chapter 1. Campo elettrostatico

Chapter 2 La legge di Gauss

2.1 Flusso del campo elettrostatico

Consideriamo una regione di spazio in è definito un campo elettrico E e una superficie infinitesima dS su cui fissiamo il versore normale ad essa un:

Definizione 2.1. Il flusso del campo E attraverso la superficie dS lo scalare: dΦ(E) = E · un dS (2.1)

Per ottenere il flusso attraverso una superficie basta suddividerla in elementi infinitesimi e sommare i singoli contribuiti del flusso attraverso esse, ovvero svolgere un integrale di linea:

Φ(E) = ∫ E · un dS Superficie Aperta

Φ(E) = ∮S E · un dS Superficie Chiusa

Nel caso di una superficie chiusa è convenzione orientare il versore normale verso l’esterno, i contributi positivi del flusso sono dovuti alle zone in cui anche E è uscente alla superficie mentre quelli negativi alle zone in cui E è entrante alla superficie. L’integrale esprime il flusso netto attraverso una superficie.

2.1.1 Legge di Gauss

Legge di Gauss E

Teorema 2. Il flusso di attraverso una superficie chiusa è dato dalla somma delle cariche interne alla superficie fratto la costante dielettrica nel vuoto.

Φ(E) = ∮ E · un dS = q / ϵ0 (2.2)

17

18 Chapter 2. La legge di Gauss

Nel caso in cui il cui il campo ha lo stesso modulo ed è perpendicolare in ogni punto della superficie allora esso si può esprimere come: Φ(E) = E · S (2.3)

Flusso e carica puntiforme

Consideriamo una carica puntiforme posta nel centro di una superficie sferica di raggio r, il campo elettrostatico E = q / 4πϵ0 r² ur risulta essere ortogonale e costante in ciascun punto della superficie la quale è equipotenziale. Per cui:

Φ(E) = ∮S E · un dS = ∮S q / 4πϵ0 r² ur · un dS

Visto che: ur · un = 1 e ∮S dS = 4πr², Φ(E) = q / ϵ0

2.1.2 Dimostrazione legge di Gauss

Definizione 2.2. Angolo solido Consideriamo una calotta sferica di raggio r e superficie S, si definisce angolo solido: Ω = S / r² (2.4)

L’angolo solido massimo è 4π.

Consideriamo il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme q e una superficie qualsiasi, calcoliamo il flusso di E attraverso l’elemento di superficie: dΦ(E) = q / 4πϵ0 r² ur · un dS

Il prodotto scalare ur · un dS = dS cos θ con θ l’angolo compreso tra il versore normale e il versore radiale, parallelo al versore del campo. Questo prodotto ci da la proiezione della superficie dS sul piano perpendicolare al versore radiale dS0. Sappiamo che dS0 / r² è l’angolo solido dΩ, quindi:

dΦ(E) = q / 4πϵ0 dΩ

Notiamo che il flusso di E di una carica puntiforme dipende solo dall’angolo solido e non dalla superficie o dalla distanza dalla carica. Il flusso attraverso una superficie è:

Φ(E) = ∫sfera q / 4πϵ0 dΩ = q / 4πϵ0 Ω

Consideriamo ora il calcolo del flusso attraverso una superficie chiusa nel caso in cui la carica q sia interna:

Φ(E) = ∮sfera q / 4πϵ0 dΩ = q / 4πϵ0 4π = q / ϵ0

2.2. Applicazioni della legge di Gauss 19

Se invece la carica è esterna, il flusso attraversa la superficie, quindi i contributi positivi del flusso entrante bilanciano i contribuiti negativi del flusso uscente ovvero il flusso totale è nullo. Possiamo estendere questi risultati per sistemi di cariche tramite il principio di sovrapposizione, facendo ciò abbiamo dimostrato la legge di Gauss (2)

2.2 Applicazioni della legge di Gauss

Possiamo applicare la legge di Gauss per calc