Elaborazione di dati biomedici

Biostatistica

Biostatistica: tecniche numeriche per l’estrazione di informazione da dati ed eventi.

Disciplina

• Matematica: base formale per rappresentare l’incertezza.
• Pratica: ci guida nelle fasi dello studio.
• Raccolta dati.
• Calcolo delle stime.
• Interpretazione.
• Critica dei risultati.

Modello probabilistico

Modello probabilistico: rappresentazione matematica capace di separare le proprietà accidentali dei dati da quelle sistematiche.

Obiettivo

Analisi di un campione sperimentale “piccolo ma non troppo” da cui dedurre caratteristiche valide per l’intera popolazione.

Fasi

• Disegno sperimentale, programmazione dell’esperimento: per pianificare le osservazioni in natura e le ripetizioni in laboratorio in funzione delle ipotesi.
• Campionamento: raccogliere i dati in funzione dello scopo della ricerca.
• Problema: come posso raccogliere un numero limitato di dati e pervenire a conclusioni generali?
• Descrizione statistica: i dati raccolti possono essere descritti da pochi parametri per una facile sintesi e un agevole confronto tra diverse condizioni sperimentali.
• Inferenza statistica: capacità di trarre conclusioni generali sulla popolazione utilizzando solo un numero limitato di dati variabili.
• Test d’ipotesi: processo logico-matematico che porta alla conclusione di non poter o poter respingere l'ipotesi della casualità; deve essere programmato in fase di disegno sperimentale.
• Ipotesi nulla (Ho): ipotesi che il risultato ottenuto con i dati sperimentali raccolti sia dovuto solo al caso.

Variabilità dei dati

La variabilità dei dati è dovuta a:

• Errori di misurazione, strumentali e dei ricercatori.
• Operare su campioni, dati ricerca1 sono diversi da dati ricerca2.
• Fattori contingenti di disturbo, tempo, località.

Statistica moderna

Statistica descrittiva: come i dati raccolti devono essere riportati in tabella, rappresentati in grafici, sintetizzati in indici matematici.

Biostatistica 1. Attenzione: individuare le caratteristiche fondamentali del campione.

Statistica matematica: calcolo delle probabilità. Attenzione: illustrare le caratteristiche fondamentali delle distribuzioni, le relazioni che esistono tra esse e gli usi.

Inferenza statistica: dedurre leggi generali, disponendo di un campione di dati variabili.

Prossimi capitoli: statistica descrittiva, studi statistici, probabilità, statistica matematica, statistica inferenziale.

Biostatistica 2.

Statistica descrittiva

Legenda emoji

• Si usa.
• Non si usa.
• Vantaggi.
• Svantaggi.
• Esempi.
• Attenzione.
• Proprietà.
• Problema.

Organizzare e sintetizzare le osservazioni evidenziandone le caratteristiche.

Attenzione: dalle caratteristiche dei dati dipendono metodi di descrizione, test statistici, tecniche di inferenza.

Tipi di dati

Variabile: grandezza, esempio voto.

Dato: osservazione, esempio 23.

Qualitativi

Dati qualitativi: categorici, nominali, ordinali e ordinali in ranghi.

Categorici, nominali: i valori rientrano in classi non ordinate. Vale la relazione di equivalenza.

Ordinali e ordinali in ranghi: l’ordine tra le categorie è importante. Relazione di equivalenza e di precedenza. Si associa a ciascuna osservazione la sua posizione.

• Esempio: sesso → variabile dicotomica, binaria.
• Esempio: gruppo sanguigno → variabile politomica.
• Non si usa: classifica del torneo di calcio, media.
• Si usa: temperatura alta o bassa, conteggi assoluti e relativi.
• Non si usa: media.

Quantitativi

Statistica descrittiva 1.

Dati quantitativi. Possono essere:

• Continui: variabili che assumono un insieme infinito di valori.
• Discreti: variabili che assumono un insieme finito o infinito numerabile di valori.

Ad intervalli: relazione di equivalenza, di precedenza e di rapporto tra differenze; si possono effettuare operazioni solo sulle differenze. Lo zero ha valore arbitrario. Esempio: temperatura in °C o °F → non ha senso dire che 80 °C è il doppio di 40 °C, gli elettroni non si muovono il doppio.

Di rapporti: relazione di equivalenza, di precedenza e di rapporto tra coppie di valori; si possono effettuare tutte le operazioni. Lo zero ha significato fisico. Esempio: temperatura in K.

Tecniche per riassumere i dati

• Matrici di dati, tabelle.
• Sintesi quantitativa.
• Sintesi qualitativa.
• Dati anomali, errati, mancanti.
• Funzioni MATLAB.

Statistica descrittiva 2.

Matrici di dati, tabelle

Seriazione: distribuzione ordinata di valori.

Intervallo di variazione, range: valore minimo e massimo.

Distribuzione di frequenza: divisione in classi per vedere quanti soggetti appartengono a una categoria.

Frequenza assoluta: numero di volte con la quale compare ogni valore.

Frequenza assoluta = frequenza assoluta.

Frequenza relativa: si usa per confronto tra distribuzioni con diverso numero di osservazioni. Frequenza relativa = frequenza relativa.

Frequenza cumulata: si ottiene sommando le frequenze minori e uguali a quella di interesse; deve essere definito un ordinamento.

Riassunto più comprensibile → fornisce in modo chiaro le indicazioni elementari contenute, tendenza centrale e dispersione.

Perdita di informazione → non si conosce come sono distribuiti i dati in ogni classe.

Quante classi?

Dipende dal numero di osservazioni (n) e dalla variabilità.

Non meno di 4-5 classi, 10-15 soggetti; non più di 15-20 classi, >100 soggetti.

10 = 1 + * log ( ).

C N10.

3 = C N.

N: numero osservazioni.

C: numero classi ottimali.

Di quale ampiezza?

3,5 * S = h N.

N: numero osservazioni.

C: numero classi.

h: ampiezza ottimale classi.

S: stdev.

Attenzione: in presenza di outliers → classi di diversa ampiezza.

Frequenza relativa = → calcolare densità.

Attenzione: h. Mai avere classi aperte.

Matrici di dati, tabelle 1.

Sintesi quantitativa

Statistiche: calcolate su un campione, lettere latine.

Parametri: calcolate sulla popolazione, lettere greche.

• Misure di tendenza centrale.
• Misure di dispersione.
• Indici di forma.

Sintesi quantitativa 1.

Misure di tendenza centrale

Misure di tendenza centrale: servono per individuare il valore attorno al quale sono raggruppati i dati.

La scelta dipende dalle caratteristiche della distribuzione e dal tipo di scala.

Media

Baricentro.

Aritmetica: ∑ x. xˉ = i x n. Baricentro della distribuzione. Effettua la correzione degli errori accidentali d'osservazione. Si usa: errori di tipo additivo. Esempio: misurare la lunghezza del tavolo → si fanno 3 misure e si prende la media.

Pesata: ∑ x n. xˉ = i i n i. Per dati raggruppati in classi. In una divisione in classi si assumono i dati distribuiti uniformemente; ogni classe pesa in base a quanti elementi possiede. Esempio: voto di laurea.

Geometrica: xˉ = (∏ ) x n g i 1 n. Proprietà: il logaritmo della media geometrica = media aritmetica dei logaritmi dei dati. Si usa: errori di tipo moltiplicativo. Esempio: confronto di superfici e volumi.

Armonica: xˉ = h 1 ∑ xi. Si usa: errori in cui c’è additività sui reciproci. Esempio: tempi di reazione.

Quadratica: xˉ = q 2 ∑ x 2 i n. Non si usa: media aritmetica dei quadrati. Esempio: analisi di superfici.

Media tronca al p%: viene tolto il p% da una parte e il p% dall’altra. p = {5, 10, 20}. Si usa: in presenza di outliers e variabili quantitative.

Mediana

Valore che occupa la posizione centrale in un insieme ordinato di dati.

• Si usa: dalla scala ordinale.
• Si usa: outliers.
• Si usa: dati distribuiti in modo non simmetrico.
• Attenzione: se i dati sono pari si calcola la media dei due valori centrali.
• Proprietà: in una distribuzione o serie di dati, ogni valore estratto a caso ha la stessa probabilità di essere inferiore o superiore alla mediana.

Moda

Valore più frequente di una distribuzione.

Misure di tendenza centrale 1.

• Si usa: outliers.
• Si usa: tutte le scale.

Intervallo medio

Media aritmetica tra valore massimo e minimo.

• Si usa: variabili quantitative.
• Non si usa: outliers.

Quantili

Servono per conoscere esattamente dove si colloca un dato.

[serie ordinata crescente] q.

Quartile: il q-esimo quartile ha alla sua sx dei dati. 4 q = 1, 2, 3.

• 1°Q: mediana della prima metà dei dati.
• 2°Q: mediana.
• 3°Q: mediana della seconda metà dei dati.

Decile: il d-esimo decile ha alla sua sx dei dati. 10 d = 1,...,9.

Percentile: il p-esimo percentile ha alla sua sx dei dati. 100.

25°P = 1°Q.

10°P = 1°D.

Misure di tendenza centrale 2.

Misure di dispersione

Misure di dispersione: come sono distribuiti i dati attorno alla tendenza centrale.

Campo di variazione = range = valore massimo − valore minimo. Non si usa: outliers.

Differenza interquartile: IQR = 3°Q - 1°Q. Si usa: outliers, li elimina.

Scarti dalla media e dalla mediana

Proprietà: scarto medio assoluto dalla mediana < scarto medio assoluto dalla media.

Proprietà: scarto medio assoluto dalla mediana = scarto medio assoluto dalla media quando la distribuzione è simmetrica.

Scarto medio assoluto dalla media(na): Sm = ∑ |x i − xˉ| / n.

Scarto medio assoluto dalla media(na), classi: Sm = ∑ n i |x i − xˉ| / n.

Indice semplice di dissomiglianza

D = ∑ |f 1 i − f 2 i| / 2.

= 0 quando le due distribuzioni di frequenza relativa sono identiche.

= 1 quando la prima distribuzione è tutta concentrata in una classe e la seconda nell’altra.

Per valutare la diversità tra due distribuzioni di frequenze relative.

i: classi.

1,2: gruppi.

Devianza

SQ = ∑ (x i − xˉ)², formula euristica.

SQ = ∑ x i² − (∑ x)² / n, formula empirica.

SQ = ∑ (xˉ i − xˉ)² n i, classe.

Non si usa: campioni con diverso numero di dati.

Varianza

σ² = ∑ (x i − μ)² / n, popolazione.

S² = ∑ (x i − xˉ)² / n − 1, campione.

S² = ∑ (xˉ i − xˉ)² n i / n − 1, classi.

Si usa: campioni con diverso numero di dati.

Misure di dispersione 1.

Attenzione: (n-1) sono i gradi di libertà → poiché la somma degli scarti dalla media è nulla, l’ultimo valore della serie è conosciuto a priori, non è quindi libero di assumere qualsiasi valore.

Deviazione standard

σ = (σ²), popolazione.

S = (S²), campione.

Coefficiente di variazione

Misura relativa di dispersione.

CV = σ / μ, popolazione.

CV = S / xˉ, campione.

CV’ = CV (1 + 1 / 4n) → quando il numero di dati è limitato, CV deve essere corretto.

• Si usa: confronto variabilità di gruppi con medie molto diverse.
• Si usa: confronto variabilità di gruppi con dati espressi in scale diverse.
• Proprietà: invariante per trasformazioni lineari, fenomeno misurato con scale differenti.
• Esempio: valutare la qualità dei reagenti.

Momenti di ordine k rispetto a un punto c

M kc = ∑ (x i − c)^k / n.

M kc = ∑ (x i − c)^k n i / n, classe.

c = 0 → M k = μ k → momento rispetto all’origine.

μ 1 = media.

μ 2 = valore quadratico medio.

c = media → M kc = m k → momento centrale.

m 1 = 0.

m 2 = varianza.

Misure di dispersione 2.

Media e stdev bastano?

Se ho media, stdev e forma conosco tutto.

Altrimenti si può derivare l’intervallo in cui sta sicuramente una prefissata porzione di dati.

Disuguaglianza di Markov

Almeno 1 − media/a dei dati è < a. Si usa: per valori non negativi.

Disuguaglianza di Chebychev

Per k, almeno 1 − 1/k² delle misure sono all’interno di k stdev dalla media.

[xˉ − ks, xˉ + ks].

Disuguaglianza di Cramer

Se la distribuzione è unimodale, simmetrica: per k, almeno 1 − 4/9k² delle misure sono all’interno di k stdev dalla media.

[xˉ − ks, xˉ + ks].

Se la distribuzione è unimodale, simmetrica, normale: [xˉ − s, xˉ + s] ci sta il 68% dei dati.

[xˉ − 2s, xˉ + 2s] ci sta il 95% dei dati.

[xˉ − 3s, xˉ + 3s] ci sta il 99,7% dei dati.

Misure di dispersione 3.

Indici di forma

Indici di forma: descrizione della forma della distribuzione → non rientrano nei test d’inferenza.

Simmetria

Valutazione della simmetria.

Distribuzioni unimodali → se si ha simmetria, media = mediana = moda, CNNS.

Distribuzioni bimodali → se si ha simmetria media = mediana, CNNS.

Tutte le distribuzioni → una distribuzione è simmetrica se i valori che sono equidistanti dalla mediana hanno la stessa frequenza.

Tipologie di asimmetria

A dx (+): i valori che si allontanano maggiormente dalla media sono quelli più elevati. Moda → media → mediana.

A sx (-): i valori che si allontanano maggiormente dalla media sono quelli minori. Media → mediana → moda.

Indici di asimmetria assoluti

Esprimono la distanza tra media e moda o mediana.

d = media − moda.

• > 0 → +asimmetrica.
• = 0 → simmetrica, CNNS.
• < 0 → −asimmetrica.

Si può valutare il grado di asimmetria.

|d| < 3 |media − mediana| → moderata.

|d| >> 3 |media − mediana| → forte.

Indici di asimmetria relativi

Per misurare il grado di asimmetria indipendentemente alle dimensioni delle misure.

Indice di skewness di Pearson: sk = d / σ, popolazione. sk = d / S, campione.

Coefficiente di Bowley: sk = (Q3 + Q1 − 2Q2) / (Q3 − Q1).

• > 0 → +asimmetrica.
• = 0 → simmetrica, CNNS.
• < 0 → −asimmetrica.

Gli indici più diffusi sono derivati dai momenti centrali di ordine dispari → dipendono dalla scala utilizzata quindi si usano normalizzati.

Coefficiente di skewness di Fisher

[−∞, ∞].

γ 1 = m 3 / σ³, popolazione.

• > 0 → +asimmetrica.
• = 0 → simmetrica, CNNS.
• < 0 → −asimmetrica.

Indici di forma 1.

g 1 = m 3 / σ³, campione.

• > 0 → +asimmetrica.
• = 0 → simmetrica, CNNS.
• < 0 → −asimmetrica.

|g 1| ≤ n.

Per valutare il grado:

• |γ 1| > 1 → forte.
• 1/2 < |γ 1| < 1 → moderata.
• 0 < |γ 1| < 1/2 → trascurabile.

Coefficiente di skewness di Person

β 1 = (m 3 / σ³)², popolazione.

• > 0 → +asimmetrica.
• = 0 → simmetrica, CNNS.
• < 0 → −asimmetrica.

b 1 = (m 3 / σ³)², campione.

• > 0 → +asimmetrica.
• = 0 → simmetrica, CNNS.
• < 0 → −asimmetrica.

Curtosi

Per curve unimodali simmetriche, si intende il grado di appiattimento rispetto alla curva normale.

Tipologie di curtosi:

• Mesocurtica: ha forma uguale a quella normale.
• Leptocurtica: più alta al centro e agli estremi e più bassa ai fianchi.
• Platicurtica: più bassa al centro e agli estremi e più alta ai fianchi.

Indici di curtosi

Misura adimensionale.

Indice di Fisher [−2, ∞].

γ 2 = m 4 / σ⁴ − 3, popolazione.

• > 0 → leptocurtica.
• = 0 → normale.
• < 0 → platicurtica.

g 2 = m 4 / σ⁴ − 3, campione.

• > 0 → leptocurtica.
• = 0 → normale.
• < 0 → platicurtica.

Indice di Pearson.

Indici di forma 2.

β 2 = m 4 / σ⁴, popolazione.

• > 3 → leptocurtica.
• = 3 → normale, CNNS.
• < 3 → platicurtica.

b 2 = m 4 / σ⁴, campione.

• > 3 → leptocurtica.
• = 3 → normale, CNNS.
• < 3 → platicurtica.

Indici di forma 3.

Sintesi qualitativa

Legenda emoji

• Evidenzia.
• Utilizzati per.

Strumento per evidenziare le quattro caratteristiche fondamentali: tendenza centrale, variabilità, simmetria, curtosi.

Mancano però di precisione → strumento per aiutare la comprensione dell’analisi statistica.

Quantitativi

Istogrammi: asse x → variabili, asse y → frequenza. Area pari alla frequenza, larghezza pari all’ampiezza della classe, barrette dello stesso colore. Evidenzia: moda, simmetria.

Cumulati: evidenziano quante sono le misure inferiori o superiori a un certo valore. Evidenzia: mediana, valore dell’asse orizzontale che corrisponde al 50% dei valori. Evidenzia: percentili.

Poligoni: asse x → variabili, asse y → frequenza. Ottenuto dal relativo istogramma unendo i punti centrali di ogni classe e raccordando all’asse x. Non evidenziano la divisione in classi. Utilizzati per: rappresentazione di valori relativi o percentuali.

Sintesi qualitativa 1.

Cumulati: evidenziano quante sono le misure inferiori o superiori a un certo valore. Evidenzia: mediana, valore dell’asse orizzontale che corrisponde al 50% dei valori. Evidenzia: percentili.

Diagramma polare: usato per esprimere una ciclicità.

Dotplot: ogni dato è un punto in corrispondenza di un valore. Utile quando ho pochi dati. Utile per confrontare diversi gruppi. Non vedo se ho valori sovrapposti.

Boxplot: evidenzia tendenza centrale, media, mediana. Evidenzia grado di dispersione rispetto alla tendenza centrale. Evidenzia simmetria. Evidenzia outliers.

Variante: media al posto della mediana, stdev al posto dell&rs