Appunti di tutte le lezioni di Econometria 2020/21

Lezione di econometria

Orari delle lezioni

• Martedì 11.30-13.30
• Mercoledì 12.30-14.30
• Venerdì 11.30-13.30

Nota: Nessuna lezione il 22 settembre, anticipata al 21 settembre.

Bibliografia consigliata

R. Davidson-J. Mackinnon, Econometric Theory and Methods, Oxford University Press, 2004.

Composizione dell'esame

• 1^a parte: Vero/Falso - Insieme di queste 3 parti = 50%
• 2^a parte: Multiple
• 3^a parte: Quesito a scelta tra 2

Restante 50%: 6 domande/esercizi che riguardano un'analisi empirica.

Desiderio di comprendere il mondo

Il desiderio degli uomini è quello di capire il mondo che li circonda, l'idea è quella di creare delle realtà artificiali da studiare per capire degli aspetti che interessano l'uomo in una determinata tipologia di settore. Un esempio concreto sono i simulatori di volo, questo crea una realtà virtuale in cui il provetto pilota si allena prima di andare sul vero e proprio aereo.

L'uomo ha da sempre cercato di crearsi delle realtà virtuali, per avere delle conoscenze e poi anche fare delle previsioni. Questo mondo di realtà virtuale e modello è quello che noi andiamo ad analizzare nelle scienze sociali, quando cerchiamo di capire cosa succede se la BCE alza i prezzi ecc... queste sono realtà virtuali che vengono create per capire le implicazioni, la natura del fenomeno ecc...

I computer sono fondamentali perché creano delle realtà virtuali, ad esempio il bianco dietro al documento crea l'immagine di un foglio stampato, ma in realtà non lo è. All'interno di queste realtà virtuali abbiamo dei modelli. Quando guardiamo i modelli c'è il desiderio di capire il rapporto tra causa ed effetto. Es funzione del consumo.

Modelli e parametri

Quando studiamo un modello abbiamo dei parametri, quali ad esempio consumo autonomo, o marginale, sono parametri che devono avere dei valori. DGP: data generating process, è la creazione della realtà virtuale, cioè creare il modello, dare dei valori ai parametri.

yt = β1 + β2Xt + ut

Y= variabile dipendente, consumo di una famiglia in uno specifico anno. X= variabile indipendente, reddito disponibile.

Quando diamo dei valori specifici a β1 e β2, infine, vi è sempre un disturbo e questo è rappresentato da u, c'è sempre un elemento imprevedibile. Quindi in econometria si tende ad aggiungere un elemento di imprevedibilità. È un disturbo casuale, una non conoscenza totale che fa inserire all'interno del modello un elemento di casualità. Va trattato come variabile casuale.

Modello di regressione

Uno dei modelli di cui si occupa l'econometria è il modello di regressione, questo è una realtà virtuale che si andrà a simulare. Il primo modello è: modello lineare semplice, chiamato così perché c'è solo una variabile indipendente. È un'equazione:

y = β1 + β2Xt + ut

Pedici: t indica che non abbiamo una sola osservazione sul modello, ma una serie di osservazioni legate all'istante temporale. Quindi abbiamo più osservazioni che sono indicizzate dalla lettera t. Anche il disturbo è legato a t, ma non è un parametro osservato e non osservabile, è un elemento di disturbo. La y viene chiamata variabile dipendente (consumo), la X è la variabile indipendente o variabile esplicativa (reddito).

Ad esempio, reddito/consumo ignoriamo la presenza del termine di errore u, è la propensione marginale al consumo rappresenta il consumo autonomo. Le variabili guadagno e consumo variano di anno in anno, in contrapposizione i parametri riflettono aspetti dell'economia che non variano, ma hanno sempre lo stesso valore.

Per ogni t, il valore di yt è dato da una funzione lineare di Xt + u. Quando sparisce la parola semplice è perché ci sono più parametri. β1 e β2 sono coefficienti fissi. Noi ci impegneremo a definire se la stima di tali parametri è buona. β1 è una costante, è l'intercetta in questa relazione. β2 è il coefficiente angolare che moltiplica X. β1 e β2 sono valori sconosciuti, ma sono costanti, mentre X, Y variano in funzione della u. X e Y le osserviamo, β1, β2, u no.

Osservazioni e disturbo

Tipicamente abbiamo N osservazioni, quindi t è un indice che varia tra 1 e N dove N è un numero a piacere che corrisponde al numero di osservazioni che abbiamo. Solo questa parte di funzione è regression function β1 + β2Xt. Questo disturbo è un elemento di imprevedibilità e questa è rappresentata da una variabile casuale, e questo rende il nostro modello una deterministica e non stocastica. Dobbiamo assumere che l'aspettativa del termine u è = 0. Qualunque valore assuma X, solo in questo modo riusciremo a definire in modo univoco e quindi a identificare β1 + β2.

Il modello CAPM

CAPM: è un modello che cerca di spiegare l'eccesso di rendimento di un titolo con l'eccesso di rendimento di un portafoglio di mercato. Rendimento (pt-pt-1 /pt-1) è alla base del modello CAPM, meglio dire l'eccesso di rendimento. Il CAPM mette l'eccesso di rendimento di un titolo come Tesla e lo fa dipendere dall'eccesso di rendimento del portafoglio di mercato. La X facciamo che sia Nasdaq, β2 del titolo è il coefficiente che in un certo senso andiamo a vedere se il titolo è difensivo, aggressivo. Se β2 > 1 il titolo è particolarmente speculativo, ogni volta che c'è un eccesso di rendimento la y cresce in modo maggiore. Difensivo < 1 ha un impatto più piccolo. Il modello CAPM predice che l'intercetta è 0.

Previsioni e rischio

Un altro esempio è legato all'immaginare di voler prevedere con quale probabilità la borsa di Milano oggi possa fare un -10%, si può creare un campione, una raccolta di dati, andare a definire una variabile casuale con una distribuzione con la media dei rendimenti. Basta sapere quale sia la distribuzione e si può quantificare questo rischio. L'utilità delle variabili casuali è quella di quantificare un'ignoranza con una distribuzione di probabilità.

Modello finanziario e CAPM

Immaginiamo di avere il seguente problema finanziario: yt = β1 + β2Xt + ut. Il modello CAPM richiede di mettere particolare attenzione sul β del titolo, cioè quel coefficiente che ci dice se il nostro titolo è speculativo, difensivo... come si comporti rispetto a un portafoglio di mercato. Pensiamo di stimare un modello fatto come il CAPM, data la relazione del CAPM stimiamo il β2 e vediamo se il titolo che abbiamo di fronte sia o meno un titolo speculativo.

β2 = 1: uguale al mercato
β2 < 1: più basso del mercato
β2 > 1: più alto del mercato.

Quando si ha a che fare con il CAPM si ha la necessità di esprimere gli eccessi di rendimento, quindi, il rendimento del titolo detratto il rendimento che si ha da un titolo privo di rischio e questo è valido sia per il titolo che vogliamo analizzare che per il portafoglio di mercato. Una possibilità molto semplice per stimare e verificare il CAPM è utilizzare questo modello di regressione di tipo lineare.

Studio delle determinanti dei prezzi delle abitazioni

Un altro problema che potrebbe essere chiesto è: studiamo le determinanti dei prezzi delle abitazioni, quindi che cosa determini il prezzo di un'abitazione. Si può ragionevolmente pensare che sia la dimensione dell'abitazione stessa, il numero di camere ecc... ci sono una serie di fattori che si presuppone possano influenzare il prezzo di un'abitazione. Il concetto di casualità è un concetto che entra in ballo quando abbiamo dei modelli e vogliamo cercare una relazione di causa-effetto. A questo punto abbiamo una serie di variabili esplicative e una variabile dipendente che è il prezzo dell'abitazione stessa. Il concetto di casualità è un concetto che entra in ballo quando abbiamo dei modelli e vogliamo cercare una relazione di causa ed effetto.

Modello di regressione lineare

Introduciamo il modello di regressione lineare: è rappresentato dall'equazione:

yt = β1 + β2Xt + ut

• Un indice t che indicizza la singola osservazione per capire quale sia il riferimento specifico.
• Abbiamo poi due coefficienti costanti, sconosciuti, ma stimabili β1 e β2.
• Abbiamo poi Xt che è una variabile che rappresenta la variabile esplicativa del nostro modello, la variabile indipendente.
• Y è la variabile dipendente, perché il suo valore dipende dal lato destro dell'equazione.
• Alla fine abbiamo u, anch'essa indicizzata con t, non osservabile. Esso rappresenta la nostra conoscenza dei comportamenti umani, le scelte sociali sono caratterizzate dall'imprevedibilità del comportamento umano e abbiamo quindi la necessità di inserire una variabile casuale che rappresenta il nostro disturbo. Ogni modello econometrico ha un disturbo che è una variabile casuale.

Il termine di errore è non osservato, mentre Y e X sono osservabili. Una variabile casuale è il modo in cui viene matematicamente rappresentata l'incertezza rispetto a un determinato evento. È quindi una funzione che può essere di 2 categorie:

1. Variabile casuale discreta: quando la variabile assume solo valori discreti.
2. Variabile casuale continua: i valori che può assumere la variabile casuale sono valori definiti lungo la linea dei numeri reali.

Ad ogni possibile valore assunto dalla variabile casuale possiamo assegnare una probabilità e questa definisce la distribuzione di probabilità della variabile casuale. Nel caso di variabili casuali discrete, come viene rappresentata? X viene rappresentata come una variabile casuale discreta generica che può assumere un numero finito di valori e via discorrendo. Quindi le x minuscole sono un particolare valore assunto dalla variabile, mentre X maiuscolo è genericamente la variabile casuale.

La probabilità assegnata ad ogni possibile outcome, la somma di queste probabilità deve essere = 1. In econometria, difficilmente troviamo nei modelli di regressione variabili casuali discrete, un ambito è quello dei binary data. Al contrario, è molto più frequente variabili casuali definite nel continuo. Il modo di rappresentare la variabile è identico, ma accanto viene rappresentata la cumulative e la density function in modo differente perché sono definite in un insieme continuo.

Funzione di distribuzione cumulata (CDF)

La cumulative distribution function (CDF): è la funzione di distribuzione cumulata, rappresenta la probabilità che la variabile casuale assuma un valore = o più piccolo di un determinato valore che diamo noi:

Pr(X ≤ x) probabilità che la variabile casuale X definita nel continuo assuma un valore minore o uguale a x.

La variabile dipendente in un modello di regressione è di solito una variabile casuale continua. Qualsiasi distribuzione di probabilità segue tre regole:

1. Tutte le probabilità devono essere comprese tra 0 e 1, non esiste una probabilità negativa e non esiste una probabilità maggiore di 1.
2. La probabilità di osservare l'insieme vuoto = 0, la probabilità invece di osservare tutti i possibili eventi della variabile casuale è 1. Sono due casi estremi.
3. Se noi abbiamo due eventi disgiunti e vogliamo calcolare la probabilità che si verifichino, questa è data dalla somma delle probabilità che si verifichi il primo evento + la probabilità che si verifichi il secondo evento.

Proprietà della CDF

La CDF F(x):

• F(x) tende a 0 se x → -∞ perché stiamo andando verso l'insieme vuoto.
• F(x) tende a 1 se x → +∞, tende a 1 se andiamo verso tutti i possibili valori e quindi la cumulata tenderà a prendere un valore molto prossimo a 1.
• F(x) è una funzione debolmente crescente di x → è una funzione incrementale con uguale.
• Per una funzione continua, se andiamo a calcolare la probabilità di un singolo punto troviamo 0.

Possiamo passare alla funzione di densità: la funzione di densità è la derivata della funzione cumulata, è rappresentata dalla f ed è uguale come definizione alla derivata prima della cumulata:

f(x) = F'(x), poiché la funzione cumulata = 0 quando la x tende a essere -∞, = 1 quando tende a +∞, qualsiasi PDF (probability density function) deve essere normalizzata per avere esattamente lo stesso andamento. Possiamo avere la necessità di calcolare la probabilità all'interno di un intervallo; se noi adoperiamo la cumulata abbiamo la probabilità da -∞ fino al punto che vogliamo, se invece abbiamo un intervallo potremmo avere la necessità di utilizzare un intervallo in questo caso prendiamo la densità e integriamo rispetto all'intervallo che ci interessa, quindi la probabilità che x assuma un valore compreso tra a e b è l'integrale tra a e b della densità f(x)dx.

Qui abbiamo un esempio grafico per vedere la relazione tra la cumulata (grafico superiore) e la densità (grafico inferiore), c'è una relazione stretta, la forma per una cumulata della standard normal ha la forma (sopra), in ogni punto leggiamo quant'è la massa totale di probabilità fino a quel punto e questo ha una corrispondenza nella densità perché se prendiamo la f di densità (sotto) abbiamo fino a un certo punto lo stesso valore, un valore più piccolo di 1, e tutta l'area che troviamo a sinistra è = all'area sotto la curva di sopra.

Variabile casuale binaria

Possiamo anche avere una variabile casuale di tipo binario che possiamo definire come una variabile casuale che assume solo due valori, 0 e 1, per esempio. La probabilità di avere 0 è p e la probabilità di avere 1 è 1-p, la cumulata è descritta:

Se avessimo p = 0,6.

Quello che ci serve quando caratterizziamo una variabile casuale sono i momenti della variabile casuale stessa. I momenti di una distribuzione sono: il momento di una distribuzione è il modo di caratterizzare la variabile casuale stessa, abbiamo il primo, il secondo, terzo e momenti di ordine superiore.

Momenti delle variabili casuali

Se prendiamo un primo caso, che corrisponde al primo momento: il valore atteso di una variabile casuale è un modo per caratterizzare ciò che succede a quella variabile casuale nel caso in cui potessimo osservare molteplici realizzazioni di quella variabile casuale stessa e si chiama anche valore atteso. E sta per expectation, quindi l'expective value di X è = all'integrale tra -∞ e +∞ di x (quindi il singolo valore assunto dalla variabile casuale) moltiplicato per la densità di quella variabile casuale stessa, integrato su x. Questo valore atteso, è una caratterizzazione che noi diamo a una variabile casuale, e rappresenta ciò che ci possiamo aspettare se potessimo osservare più volte quella variabile casuale come valore medio, ha un corrispondente nel caso discreto. Nel caso discreto ciò che viene utilizzato è la sommatoria, la sommatoria per i che va da 1 a m di p(xi) che è la probabilità di osservare l'outcome xi per xi. Questi sono definiti come primi momenti, il primo per il caso continuo e l'altro per il caso discreto.

La funzione momento di una variabile casuale viene fuori da momento di ordine K, nel caso dell'aspettativa è momento di ordine 1, cioè quando k=1. Potremmo essere interessati a non fermarci al primo momento, ma potremmo essere interessati anche ai momenti di ordine superiore, un momento importante è il secondo momento di una distribuzione. Questi momenti sono momenti non centrati, perché noi potremmo avere la necessità di avere momenti centrati e molto spesso lavoreremo con momenti centrati.

Il momento è centrato quando gli sottraiamo il suo valore atteso. Rappresenta l'aspettativa di x, questo è il k esimo momento centrale perché potremmo elevarlo alla 3 e otterremmo la skewness: che nota la simmetria/asimmetria di una distribuzione e alla 4 avremmo la curtosi che è il quarto momento centrato di una distribuzione e misura quanta è la massa di probabilità presente nelle code della distribuzione stessa. Quindi quanta probabilità c'è di osservare valori estremi. Lo stesso calcolo che abbiamo fatto per il caso continuo lo possiamo fare per il caso discreto, in questo caso la prima parte della formula rimane identica e nella seconda parte l'integrale viene rimpiazzato dalla sommatoria. Dove nella sommatoria abbiamo le singole probabilità di osservare un determinato valore della x.

Varianza

Un momento centrato che calcoliamo spesso è la varianza, la varianza non è altro che il secondo momento centrato di una distribuzione.

• La media può essere immaginata come l'aspettativa di una variabile casuale o di una distribuzione.
• La varianza è una misura della dispersione della distribuzione stessa, quindi se noi abbiamo varianza 0, abbiamo una costante, non c'è una distribuzione di valori ma c'è un singolo valore assunto.
• La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. La varianza assume sempre solo valori positivi.
• Lo standard error è una stima della dev standard.

Distribuzione normale standard

Il valore atteso di una normale standard è 0, e la varianza 1. La distribuzione è simmetrica e quindi la probabilità di avere un numero positivo è 50% se estraiamo un numero da una normale standard. La probabilità di avere un numero negativo è 50%.