Due fatti sulla uniforme continuità 

Due fatti sulla continuità uniforme

∗

Luca Francesca

luca.francesca01@gmail.com

Sommario

Due parole sulla questione della continuità uniforme.

Indice

1 La continuità uniforme 1

2 Tutto è meglio con qualche esempio pratico 2

3 Heine: un teorema utilissimo 4

4 Semplice verifica dell’uniforme continuità 4

5 Uniforme continuità e lipschizianità 4

5.1 Un esempio concreto: equazioni differenziali e esistenza in grande 5

6 Uniforme continuità e funzioni hölderiane 5

6.1 Un piccolo studio di funzione hölderiana . . . . . . . . . . . . . . 6

7 Il Teorema della farfalla 6

A Esercizi di approfondimento 7

B Letture consigliate 7

C Ringraziamenti 7

La continuità uniforme

La questione della continuità uniforme è legata alla questione dell’integrabilità

di funzioni continue ed è un’arma molto utile.

Difatti, si può dimostrare che una funzione uniformemente continua è sempre

1

integrabile (secondo Riemann). →

Consideriamo ora una funzione f : [a, b] Dato ε > 0, trovo per conti-

R.

|x − | ⇒ |f −

nuità δ > 0 tale che se x < δ (x) f (x )| < ε.

0 0

∗ Un grazie a Forum di matematicamente.it (in particolare questo topic) per l’ispirazione.

1 si veda Gilardi in B, pagine 116,127,160 per i teoremi in questione

1

0

6 6

Per x = x fissato, trovo δ = δ in generale. Vorrei invece riuscire a trovare δ

1 0

conoscendo solamente ε e non x .

0

Diamo ora le definizioni di funzione continua

n m

⊂ → ∀;x ∈

Definizione 1.1: Sia f : A . La funzione è continua se A

R R

∀ε ∃δ ∀g ∈ |x − ≤ ⇒ |f − ≤

> 0 > 0 t.c A g| δ (x) f (g)| ε.

e n m

⊂ →

Definizione 1.2: Sia f : A è uniformemente continua quando

R R

∀ε ∃δ

> 0 > 0 tale che:

∀x, ∈ |x − ≤ ⇒ |f − ≤

y A, y| δ (x) f (y)| ε

Come possiamo vedere la sottile differenza tra le due definizioni è quello che

rende l’ottica dal locale al globale.

Ovviamente se f è uniformemente continua allora è anche continua.

Ci sono però funzioni continue che non lo sono uniformemente.

Tutto è meglio con qualche esempio pratico

2

• Funzione non uniformemente continua: f (x) = x
• Funzione uniformemente continua: f (x) = tanh(x)
• Funzione non uniformemente continua: f (x) = sin(x²)
• Funzione uniformemente continua: f (x) = sin(x²) con x > 0