Domini normali e integrali doppi

Domini normali e integrali doppi

Siano definite due funzioni α e β continue in un intervallo [a, b] tali che α(x) ≤ β(x), x ∈ [a, b] ⊂ R. Si definisce la parte di piano:

D = { (x, y) ∈ [a, b] × R: α(x) ≤ y ≤ β(x) }

Dominio normale rispetto all’asse x, che concettualmente vuol dire perpendicolare (una parte di piano che sembra frutto di una funzione f(x)).

Riprendendo i concetti in una variabile, se si ha una situazione del genere:

Si ha che la parte in blu è il risultato di:

∫_a^b α(x) dx

La parte in verde:

∫_a^b β(x) dx

E la parte in rosso:

∫_a^b (β(x) − α(x)) dx = ∫_a^b β(x) dx − ∫_a^b α(x) dx = m(D)

Consideriamo quindi il dominio D la cui area è la parte in rosso.

Dominio normale rispetto all’asse y

Analogamente si può dare la definizione di dominio normale rispetto all’asse y. Date due funzioni γ(y) e δ(y) definite in un intervallo [c, d] tale che γ(y) ≤ δ(y), y ∈ [c, d], viene definito l’insieme normale rispetto all’asse y:

E = { (x, y) ∈ R × [c, d]: γ(y) ≤ x ≤ δ(y) }

Concettualmente, i domini normali rispetto all’asse y hanno una frontiera che è una funzione del tipo f(y), analogamente a come si è detto prima, l’area del dominio E si trova svolgendo l’integrale:

∫_c^d (δ(y) − γ(y)) dy = m(E)

Inoltre, un’altra definizione di dominio normale rispetto a x e y dice che, comunque venga presa una retta parallela all’asse y rispetto a x, un dominio è normale rispetto a x e y se l’intersezione della retta con le funzioni in x e y forma o un segmento od un punto; ad esempio, se forma due segmenti come nel caso sotto:

In cui si sono formati 4 punti e quindi 2 segmenti, l’insieme non è normale rispetto a y.

Esempio

Si calcoli l’area della regione:

D = { (x, y) ∈ [0, π] × R: cos(x) ≤ y ≤ 2cos(x) }

Il dominio risulta essere normale rispetto all’asse delle x. Il calcolo è semplice, basta applicare la definizione e viene:

m(D) = ∫₀^π (2cos(x) − cos(x)) dx = ∫₀^π cos(x) dx = sin(π) − sin(0) = 0

La corona circolare

Un caso particolare è la corona circolare, che non è un dominio normale, tuttavia essa può essere partizionata in più domini, ciascuno normale ad un asse diverso, infatti data la corona:

Si vede che le parti sono suddivise in base alle funzioni presenti, infatti nella parte 1 non vi è la funzione √(1 − x²), così come nella 3, e se si dovesse scrivere una rappresentazione del dominio, si scriverebbe che per 1 ≤ x ≤ 2 allora 0 ≤ y ≤ √(4 − x²), mentre nel caso di 4 e 2 l’ordinata sarà compresa fra le