Domande con risposte Progettazione sistemi digitali, prof. Gorla

Passare da base A a base A^k e per quale motivo algebrico funziona

Nell’aritmetica in base se voglio calcolare il resto della divisione di un numero in base per un certo numero, basta prendere le cifre meno significative;  se voglio calcolare la divisione, basta prendere tutte le restanti cifre.

… Quindi, se la base è e il numero in base a è, allora il numero in base corrisponde a−1 1 0, prendere le cifre meno significative e convertirle in base, poi successive cifre meno significative e le converto in base ecc.

Come si ottiene l'opposto in complemento a 2

Per ottenere l’opposto di un numero in Ca2 devo complementare tutti i bit e sommare 1 al risultato ottenuto.

Dimostrare che il procedimento del complemento+1 di cui sopra corrisponda effettivamente all'opposto

Metto in evidenza i fattori che sono moltiplicati per la stessa base 0 + 1 1 + 0.

All’interno delle parentesi ho un bit più il suo complemento, quindi ho sempre o o quindi posso eliminarle e mi ritrovo con:

Svolgo la sommatoria che è la serie geometrica e mi ritrovo con:

Intervallo di rappresentazione dei numeri naturali avendo n bit e interi in Ca2

−1 −1 0 2 −2

Con n bit posso rappresentare numeri naturali (da a) e numeri interi in Ca2 (da incluso −1+2 a escluso).

Intervallo di rappresentazione dei numeri in virgola mobile avendo n bit di mantissa e n di esponente, qual è il numero più piccolo e più grande rappresentabile

Per i numeri negativi, la mantissa varia da -0,11…1 a -0,100…0.

Per i numeri positivi, la mantissa varia da +0,10…0 a +0,11…1−1 −1[−2 + 1; +2 − 1).

L’esponente invece (in Ca2) è nell’intervallo.

Il range di rappresentabilità è quindi:

• − − − + −, ∗, … ∗ Numeri positivi: ∗ 2 ∗ 2 (da a)
• − − − − +−, … ∗ −, ∗ Numeri negativi: ∗ 2 ∗ 2 (da a)

Condizioni di overflow in somma numeri naturali e interi e tipi di overflow sui razionali

L’overflow si verifica quando l’elaboratore non ha abbastanza bit per rappresentare una certa informazione.

• Per i naturali questo accade quando, nella somma, vi è un riporto per il bit più significativo.
• Per gli interi in Ca2 avviene quando con operandi di segno concorde si ottiene un risultato di segno discorde.
• Per i razionali espressi in virgola mobile avviene quando l’esponente (in Ca2) supera i bit disponibili.

Quanti bit di ridondanza devo aggiungere per i bit di parità longitudinali e trasversali

Bisogna distinguere tra caso migliore e caso peggiore in un messaggio da bit:

• Il caso migliore si ottiene quando è un quadrato perfetto, in quanto avrò una matrice quadrata e = = √. 2√ quindi avrò che aggiungo quindi bit.
• Il caso peggiore si ottiene quando è un numero primo, in quanto avrò una matrice con una sola + 1 colonna o una sola riga. Aggiungo quindi bit di ridondanza. 2√ + 1.

A seconda del caso quindi, i bit di ridondanza da aggiungere variano da a.

Codice di Hamming: prestazioni e quanti bit servono

Il codice di Hamming, come il metodo dei bit di parità longitudinali e trasversali, riesce a rilevare al massimo log + 1.2 errori ed a correggerne al massimo 1, ma utilizzando meno bit di ridondanza, ovvero sempre 2.

I bit di controllo vengono inseriti nelle posizioni che sono potenze di 2, mischiati coi bit di messaggio che vengono inseriti nelle restanti posizioni.

Algebra di Boole e dimostrazioni correlate alle proprietà

Un’algebra di Boole in matematica è un insieme dotato di operazioni che godono di determinate proprietà.

L’algebra di Boole è quindi un insieme costituito da solo due elementi {0,1}, dotato di tre operazioni {+, *, ¯} rispettivamente AND, OR e Complemento, che gode delle proprietà commutativa, associativa, distributiva, elemento neutro e complemento.

Tramite queste proprietà è possibile derivare ulteriori leggi:

• Legge di involuzione: il doppio complemento si annulla;
• Legge di idempotenza: se moltiplico o sommo un fattore per sé stesso, ottengo lo stesso fattore;
• Somma:
• Prodotto:
• Legge dell’elemento annullatore: se moltiplico un fattore booleano per 0, il risultato sarà 0;
• Legge di assorbimento: se sommo a sé stesso moltiplicato per qualcosa il risultato è sempre;
• Legge di De Morgan: se faccio la negazione di una somma ottengo il prodotto dei negati; se faccio la negazione di un prodotto ottengo la somma dei negati.

Cosa dice il principio di dualità e perché vale

Il principio di dualità afferma che se ho una legge valida, questa legge rimarrò valida anche se scambio gli 0 con gli 1 e gli AND con gli OR (o viceversa).