Disequazioni goniometriche

Disequazioni trigonometriche

Bonaldi – Enrico Disequazioni trigonometriche

Francesco Bonaldi e Camillo Enrico

Introduzione

Si definiscono disequazioni trigonometriche le disequazioni nelle quali l’angolo incognito è espresso mediante funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente etc.).

Gli angoli verranno sempre espressi in radianti.

Va ricordata la corrispondenza tra angoli in radianti e in gradi:

Radianti Gradi

π 180°

π 90°

2

3π 270°

2

2π 360°

Le formule per il passaggio da gradi a radianti e viceversa sono:

πα° 180

= α

e α° =

α_r α_r

π

180

e α° sono le misure dell’angolo rispettivamente in radianti e in gradi.

dove α_r

Ricordiamo che le funzioni trigonometriche sin x e cos x sono periodiche di periodo 2π, mentre la funzione tan x è periodica di periodo π.

Questa proprietà può essere espressa formalmente con le seguenti relazioni:

∀ x ∈ Z

sin (x + 2kπ) = sin x

∀ x ∈ Z

cos (x + 2kπ) = cos x ∀ x ∈ Z

tan (x + kπ) = tan x

[dove Z rappresenta l’insieme dei numeri interi positivi, negativi e lo zero]

Pur applicandosi gli stessi principi studiati per le disequazioni algebriche, occorre in aggiunta considerare il campo di variabilità delle varie funzioni trigonometriche e più precisamente:

• Sin x e cos x sono funzioni definite su tutto l’asse reale e assumono, al variare dell’angolo, tutti e soli i valori reali compresi nell’intervallo [-1, 1]: questo significa che sono funzioni limitate;

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• Tan x è invece funzione definita su tutto l’asse reale con l’eccezione dei punti: π/2 + kπ in cui non è definita, e assume, al variare dell’angolo, tutti i valori reali compresi nell’intervallo (-∞, +∞); va notato che li assume già nell’intervallo (-π/2, π/2).

Le disequazioni trigonometriche più comuni

Esaminiamo ora i tipi più comuni di disequazione trigonometrica. Ne forniamo le tecniche di soluzione per ciascun tipo, tramite esempi risolti e commentati.

Disequazioni elementari

A) sin x > a

Se a ≥ 1: impossibile (la funzione sin x è limitata tra -1 e +1).

Se a < -1: sempre vera (qualunque valore di x soddisfa la disequazione; la funzione sin x è sempre > -1): ∀ x ∈ R.

Se a = -1: vera ∀ x ≠ π/2 + 2kπ [infatti: sin (π/2 + 2kπ) = -1]

Se -1 < a < 1: scelto α tale che sin α = a con 0 ≤ α < 2π, le soluzioni sono:

α + 2kπ < x < π – α + 2kπ, ∀ k ∈ Z.

Esempi

• Sin x > 1/2. Disegnando (vedi Fig. 1) la circonferenza goniometrica e la retta y = 1/2, cerchiamo tutti gli angoli per cui l’ordinata dei punti di intersezione con la circonferenza è maggiore di 1/2. Ricordando che gli angoli (compresi tra 0 e 2π) aventi per seno 1/2 e 5/6 sono: π/6, otteniamo la soluzione: π/6 < x < 5π/6.
• Tenendo in considerazione poi la periodicità (periodo 2π) della funzione sin x, la soluzione generale sarà espressa dalla relazione: π/6 + 2kπ < x < 5π/6 + 2kπ, ∀ k ∈ Z.

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Fig. 1 (*)

• Sin x > -2/2. In modo analogo (vedi Fig. 2) si tracciano la circonferenza trigonometrica e la retta y = -2/2 e si cercano tutti gli angoli per cui l’ordinata dei punti di intersezione con la circonferenza è maggiore di -2/2.
• Ricordando che gli angoli (compresi tra 0 e 2π) aventi per seno -2/2 sono: 5π/4 e 7π/4, si ottengono le soluzioni: 2kπ < x < 5π/4 + 2kπ e 7π/4 + 2kπ < x < 2π + 2kπ, k ∈ Z.
• [Facendo uso degli angoli negativi le soluzioni si possono anche esprimere così: -π/4 + 2kπ < x < π/4 + 2kπ]

(*) In tutte le figure le soluzioni sono indicate con archi a tratto continuo.

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Fig. 2

B) Sin x < a

Se a > 1 disequazione sempre vera, qualunque valore di x la soddisfa, la funzione sin x è sempre < 1: ∀ x ∈ R.

Se a ≤ -1: impossibile, nessuna soluzione, la funzione sin x è sempre ≥ -1.

Se a = 1 vera ∀ x ≠ π/2 + 2kπ [infatti sin (π/2 + 2kπ) = 1]

Se -1 < a < 1 scelto α tale che sin α = a con 0 < α ≤ 2π, le soluzioni sono: 2kπ < x < α + 2kπ e π – α + 2kπ < x < 2π + 2kπ, k, k ∈ Z.

Esempio: sin x < 1/2.

Si traccino (vedi Fig. 3) la circonferenza goniometrica e la retta y = 1/2. Vanno cercati tutti gli angoli per cui l’ordinata dei punti di intersezione con la circonferenza sia minore di 1/2.

Ricordando che gli angoli (compresi tra 0 e 2π) aventi per seno 1/2 sono: π/6 e 5π/6, si ottengono le soluzioni: 2kπ < x < π/6 + 2kπ e 5π/6 + 2kπ < x < 2π + 2kπ.

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Fig. 3

C) Cos x > a

Se a ≥ 1 disequazione impossibile, nessuna soluzione; la funzione cos x è limitata tra –1 e 1.

Se a < -1 sempre vera, qualunque valore di x soddisfa la disequazione; la funzione cos x è sempre > -1: ∀ x ∈ R.

Se a = -1 vera ∀ x ≠ π + 2kπ; [infatti: cos(π + 2kπ) = -1]

Se -1 < a < 1 scelto α tale che cos α = a con 0 < α ≤ π, le soluzioni sono: -α + 2kπ < x < α + 2kπ, ∀ k ∈ Z.

Esempio: cos x > 3/2.

Si traccino (vedi Fig. 4) la circonferenza goniometrica e la retta x = 3/2. Vanno cercati tutti gli angoli per cui l’ascissa dei punti di intersezione con la circonferenza è maggiore di 3/2.

Ricordando che l’angolo, compreso tra 0 e π, avente per coseno 3/2 è: π/6, si ottiene la soluzione: -π/6 + 2kπ < x < π/6 + 2kπ che si può anche esprimere così: 2kπ < x < π/6 + 2kπ e 11π/6 + 2kπ < x < 2(k+1)π.

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Fig. 4

D) Cos x < a

∀ x ∈ R, la funzione cos x è sempre < 1.

Se a > 1 disequazione sempre vera: ≥ -1.

Se a < -1 impossibile, nessuna soluzione; la funzione cos x è sempre ≥ -1.

Se a = -1 vera ∀ x ≠ π + 2kπ; [infatti: cos(π + 2kπ) = -1]

Se –1 < a < 1, scelto α tale che cos α = a con 0 ≤ α < π, le soluzioni sono: α + 2kπ < x < 2π - α + 2kπ, ∀ k ∈ Z.

Esempio: 2 cos x < 1.

Si traccino (vedi Fig. 5) la circonferenza goniometrica e la retta x = 1/2. Si devono cercare tutti gli angoli per cui l’ascissa del punto di intersezione con la circonferenza sia < 1/2.

Ricordando che l’angolo compreso tra 0 e π avente per coseno 1/2 è: π/3, le soluzioni sono: π/3 + 2kπ < x < 5π/3 + 2kπ, ∀ k ∈ Z, che si possono anche esprimere così: π/3 + 2kπ < x < (2k+1)π e (2k-1)π < x < -π/3 + 2kπ.

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Fig. 5 ∈ R.

E) Disequazioni con la tangente

Passiamo ora a studiare le disequazioni: tan x > a e tan x < a, con a ∈ R.

In questo caso, è più comodo fare riferimento al grafico della funzione y = tan x, qui sotto riportato (vedi Fig. 6).

Fig. 6