Dinamica leggi di Newton

DINAMICA

Studia le cause di un moto e quindi le forze.

LEGGI DI NEWTON

Le leggi della dinamica sono 3:

1. PRINCIPIO DI INERZIA

   Un punto non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità:
   1. se è in quiete, resta in quiete (v=0)
   2. se è in moto, questo è rettilineo e uniforme (v=cost.)
   Per cui l'azione di una FORZA si manifesta con una variazione di velocità. FORZA = esprime e misura l'interazione tra sistemi.

2. SECONDA LEGGE DI NEWTON

   Legge fondamentale della dinamica del punto:
   • Questa legge esprime il LEGAME CAUSA/EFFETTO tra forza e stato di moto.
   • Questa forza, creando l'accelerazione, determina la VARIAZIONE della velocità e M = MASSA INERZIALE
   • Se v=cost. ⇒ a=0 ⇒ ∑ F = 0 e viceversa;
   • Da questa considerazione si deduce che la II legge di Newton contiene la I.
   • Questa legge è VETORIALE e non scalare (evidenza sperimentale).
   • Questa legge dà la vera DEFINIZIONE DI FORZA e dice come misurarla; inoltre fissa il significato fisico della MASSA la "risposta" del punto all'azione della forza e inoltre spiega perché i corpi si muovono.

DINAMICA

Studia le cause di un moto e quindi le predice?

LEGGI DI NEWTON

Le leggi della dinamica sono 3:

1. PRINCIPIO DI INERZIA

   Un punto non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità.

   • (1) se è in quiete, resta in quiete (V=0)
   • (2) se è in moto, questo è rettilineo e uniforme (V=cost.)

   Per cui l'azione di una FORZA si manifesta con una variazione di velocità.

   FORZA = esprime e misura l'interazione tra sistemi.

2. SECONDA LEGGE DI NEWTON

   Legge fondamentale della dinamica del punto:

   • Questa legge esprime il LEGAME CASUALE tra forza e stato di moto.
   • Questa forza, creando accelerazione, determina la VARIAZIONE della velocità.
   • M = MASSA INERZIALE

   "Se V=cost. => a=0 => F=0 e viceversa.

   Da queste considerazioni si deduce che la II legge di Newton contiene la I.

   • Questa legge è VETTORIALE e non scalare (evidenza sperimentale).
   • Questa legge da la vera DEFINIZIONE DI FORZA e dice come misurarla, indicando il significato fisico della MASSA «risposta» del punto all’azione della forza.

   e in ultimo spiega perché i corpi si muovono.

Infine, tra le leggi di Newton ha una area di validità:

1. Valida solo in un sistema di riferimento inerziale
2. Valida solo se m è costante
3. Valida solo per velocità minore della velocità della luce c=3.10⁸ m/s

B) Principio di azione e reazione

Enunciato

Se un corpo A esercita una forza 𝐹 su un corpo B, questo reagisce esercitando una forza 𝐹ₑ su corpo A.

(Stessa direzione, modulo e verso opposto)

Attrazione Repulsione

Le forze non si elidono poiché applicate su corpi diversi

Quantità di moto

La quantità di moto è una grandezza vettoriale parallela alla velocità e:

𝑑 = m 𝑒

In modulo: |𝑑|=|m𝑒| e |𝑑| = Kg m/s

La forma più generale della seconda legge di Newton è:

𝐹 = d𝑑/dt

Questa forma è valida anche quando la massa non è costante inoltre è valida anche a velocità relativistiche:

𝑑 = m𝑒 / sqrt{1- 𝑒²/ c²}

𝛾 = m𝑒

Se 𝐹 = 0 => d𝑑/dt = 0 => 𝑑 = cost. => in assenza di forze la quantità di moto si conserva (equivalente al principio di inerzia)

Teorema dell'impulso

Impulso

Grandezza che ha a che fare con l'azione della forza nel tempo.

Portiamo ovvio il 2ᵒ legge di Newton:

dF = dp/dt => ∫Fdt = dp

Integrando:

L'impulso della forza è uguale alla variazione della quantità di moto e caratterizza l'effetto di una forza che agisce per un tempo finito Δt.

Enunciato

La variazione di quantità di moto in un certo intervallo di tempo è pari all'impulso subito dal corpo nello stesso intervallo di tempo.

Esempio

Un punto materiale urta un muro e rimbalza con velocità opposta.

Se l'urto dura dt, quanto vale la forza media durante l'urto? Sviluppiamo:

Nell’urto cambia il verso della velocità.

La forza esercitata dal muro sul punto durante l'urto è concorde a -̅ʲ

Risultante delle forze

Se sul punto agiscono più forze F₁, F₂, …, Fₙ

L'evento ha luogo come se agisse una sola forza: la risultante:

Per cui l'accelerazione complessiva sarà:

Statica del punto

Ogni forza agisce indipendentemente dalle altre.

• Dallo studio del punto riceviamo informazioni su F e non sulle singole Fi.
• Se dallo studio ricaviamo che non agiscono forze => R_i = 0, cioè possono esserci forze ma annullate tra loro.

EQUILIBRIO DELLE FORZE

Con equilibrio si intende che R_i = 0

• n = 2 : F₁ = F₂
• n = 3 : le tre (o più) forze devono formare una POLIGONALE CHIUSA.

EQUILIBRIO STATICO

R_i = 0

• Se il punto è in movimento prosegue con moto rettilineo uniforme.
• Se il punto resta in quiete.

Se R_i = 0 => R_x = R_y +

f^f_i = 0

f
F_x=0
F_y=0

EQUILIBRIO INSTABILE:

F_est ≠ 0

EQUILIBRIO STABILE:

F_est = 0

REAZIONI VINCOLARI

• Se le forze applicate sul punto non hanno risultante nulla (R ≠ 0), ma il punto è in quiete, l'azione delle forze provoca una REAZIONE VINCOLARE che si esplica con una forza uguale e contraria a R.
• La reazione vincolare NON è nota a priori e va determinata caso per caso.
• Va INCLUSA TRA LE FORZE AGENTI.
• ESISTE ANCHE SE IL CORPO È IN MOVIMENTO.

AZIONE DINAMICA DELLE FORZE

MOTO RETTILINEO UNIFORME:\[\vec{R} = 0\]

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO:\[\vec{R} = \text{cost}\]

MOTO CURVILINEO NEL PIANO:\[\vec{R} \ne 0\]

\[\vec{R} = m\vec{a} = m\dot{\vec{v}} = m\dot{\vec{v}}_{t} + m\frac{\vec{v}_{t}^{2}}{r}\vec{n}\]

MOTO CIRCOLARE UNIFORME:\[\vec{R} = m\vec{a} = \frac{m\vec{v}^{2}}{r}\vec{n}\]

le \(\vec{f}\) \[\rightarrow\] ORTOGONALE ALLA TRAIETTORIA E DIRETTA VERSO LA CONCENTRA

APPLICAZIONI DELLA DINAMICA

(A) FORZA PESO

FORZA PESO: forza agente sul corpo, diretta verso il basso lungo la verticale terrestre, vicina alla superficie di un pianeta.

\[\vec{P} = \vec{F} = m\vec{a} = m\vec{g} = m \cdot 9.81 \, \text{m/s}^{2}\]

Zin presenza della ... FORZA PESO il ... è UNIFORMEMENTE ACCELERATOcon \(\vec{a}=\vec{g}=9.81 \text{m/s}^{2}\) (SENZA ATTRITO DELL'ARIA). Se agiscono anche altre forze... ̅\(\vec{a}\ne \vec{g}\) e l'accelerazione può viverecon la vetta ATTRITO DELL'ARIA

Esempio: lo sollevamento del peso

La piattaforma si muove rettilineamente con ...un'accelerazione ... che è quindi anche quella del corpo

Per la II legge di Newton: \(\sum \vec{F} = \vec{N} + m\vec{g} = m \cdot \vec{a}\)\[\sum N = m(\vec{a}-\vec{g})+ m(\vec{a}-\vec{g})\vec{y}= m(\vec{a}-\vec{g}\vec{y})\]È L'N CHE CI DÀ LA SENSAZIONE DI PESO

(iv) _^N|_^ag=0 → N=0 poiché il corpo si stacca dalla piattaforma.

• Forza di attrito (radice) forza macroscopica è la manifestazione microscopica della forza elettromagnetica tra gli atomi dei materiali che sono a contatto.

4 Forze Fondamentali:

1. Forza Nucleare
2. Interazioni Dovute
3. Forza Elettromagnetica
4. Gravitazione

2 Tipi di Forza d'Attrito:

1. Attrito statico:

È attrito tra due corpi che non si muovono uno rispetto all'altro.

Quando si applica la F_s, non c'è nessun movimento.

• C'è una forza uguale e opposta

F_as (Forza di Attrito Statico) sviluppata dal piano.

Se F cresce, cresce anche F_as. F_fino ad un valore massimo.

F_asmax=μ_sN dove μ_s è detto coefficiente di attrito statico.

Dipende dai materiali dei corpi a contatto, dello stato delle superfici.

⇒ Quando F > μ_sN il corpo si muove.

(2) ATTRITO DINAMICO

attrito tra due corpi quando un corpo si muove al latosi oppone la forza dell'attrito dinamico.La forza d'attrito ha un valore costante ed èespressa

F_ad = -μ_dN⋅|v

dove |v| è il valore della velocità eμ_d è il detto coefficiente di attrito dinamico.

|μ_d < μ_s SEMPRE|

Qualche μ_d dipende della naturadei corpi a contatto e del tipodi superficie.

Il salto brusco della forza d'attrito produce effetti curiosi (come quelliacustici), e l'esempio dei freini auto sulla lavagna.

SUPERFICIE LISCIA: una superficie che non presenta attrito o la si puòconsiderare tale è il suo attrito è molto piccolo.contrario SCARPA

(3) FORZA ELASTICA

FORZA ELASTICA è una forza unidimensionale didirezione costante, verso opposto sempreverso il punto di riposo della forza

è uguale proporzionale alladistanza x dal 0 del corpo cui èapplicata.

Tali proprietà sono assozzate dai F = -Kx ⋅ μ_x dove K è dettacostante elastica.

F = ma = -K ⋅ Xm = o => a = K ______________________________ ^m

urp se a = d²x dt² = w² => d²x dt²-w²x = 0Una forza elastica genera =>un moto armonico __________________ ________ w= ^K T=2π =21 T^mw ^{m wm MK}

la molla è un sistema più semplice che sviluppa una forza elastica

F(x=x₀)=0

F(x>x₀)=-R(x-x₀) ↳ F>0

F(x Θ aumenta

Altre relazioni:R = l sinΘ ; v_T = ωR

Per un pendolo di lunghezza l, la frequenza di pendolo solo da W (ind da m)

PENDOLO SEMPLICE

La traiettoria è un arco di circonferenza di centro 0

Il punto di massa m sospesa tramite un filo lungo l (inestensibile e di massa trascurabile)

SI MUOVE IN UN PIANO VERTICALE

Per la descrizione del moto ci conviene stabilire un SI solidale al corpo

∂F = mgŸ + TŸ = m† 

Scomponiamo questa espressione

lungo l'asse x: -mg sin Θ = ma_T dove a_T è l'accelerazione tangenziale

lungo l'asse y: T - mg cos Θ = ma_N dove a_N è l'accelerazione normale

!! Il moto è CIRCOLARE NON UNIFORME perché c'è forza tangente

infatti è a_T = g sin Θ = a_L = l d²Θ/dt² a_T non è costante nel tempo perché Θ varia nel tempo.

Con a_T ≠ 0 => Θ ≠ cost. (a_T = 0 solo nel punto + basso)

L'equazione del moto è: d²Θ/dt² - g/l sin Θ = 0 eq. differenziale

che però NON ha una soluzione analitica bella.

Però se Θ è piccolo (Θ < 10°) => sin Θ ≅ Θ (piccole oscillazioni)

(Sviluppo per Taylor serie di Θ: Θ - Θ³/3! - Θ⁵/5! ... )

Perciò l'equazione del moto diventa: d²Θ/dt² + g/l Θ = 0

equazione che assomiglia a quella del moto armonico lungo un arco di circonferenza.

Quindi: la soluzione è guidata DACDAC DAC

Θ(t) = Θ₀ sin (ωt + φ)

Θ₀, φ dipendono dalle condizioni iniziali

PULSAZIONE w = √(g/l)

PERIODO T = 2π/w = 2π √(l/g)

non dipende dalla massa, ne dalle condizioni iniziali

non dipende dall'ampiezza

La VELOCITA ANGOLARE è descritta da:

dΘ/dt = wΘ₀ cos (ωt + φ)

per cui è massima nel centro e nulla agli estremi