Dinamica: leggi di conservazione

Dinámica y leyes de conservación

Nella concezione moderna della fisica, il concetto fondamentale per studiare il nostro universo è l'interazione (elettromagnetica, gravitatoria...) e la forza spiega questa interazione. L'esperienza ci insegna che in Natura esiste un "ordine prestabilito", certe regolarità che non dipendono dal caso particolare in questione, come ad esempio la massa (associata ad ogni corpo e indipendente dall'interazione) e la forza (associata alla particolare interazione) che sono grandezze fisiche che ci permettono di poter rappresentare i sistemi interagenti. Esistono poi delle limitazioni assolute di massa interagenti, indipendentemente dal tipo di interazione. Le relazioni che rappresentano queste limitazioni si chiamano leggi di conservazione. Per ognuna di queste leggi viene definita una grandezza fisica che rimane costante lungo per tutto il moto dei corpi e che viene determinato dalle condizioni iniziali. Queste costanti di movimento servono a predire l'evoluzione di un punto materiale o sistema di punti che interagiscono tra loro.

Lavoro

d^s: vettore spostamento

F: forza che verrà applicata perpendicolare al punto da A a B

Θ: angolo tra d^s e F e sarà variabile perché sia d^s che F possono cambiare

Lavoro della forza nello spostamento AB

Integrale di linea della forza:

W = ∫_A^B F ∘ d^s = ∫_A^B F cos Θ ds = ∫_A^B F_T ds

Il lavoro è uno scalare. Somma di incrementi differenziali. Effetto della forza che sposta la traiettoria di un punto.

Leggi di conservazione

Nella concezione moderna della fisica, il concetto fondamentale per studiare il nostro universo è l'interazione (elettromagnetica, gravitatoria, ...) e la forza spiega questa interazione. L'esperienza ci insegna che in Natura esiste un "ordine prestabilito", certe regolarità che non dipendono dal caso particolare in questione, come ad esempio la massa (associata ad ogni corpo e indipendente dall'interazione) e la forza (associata alla particolare interazione) che sono grandezze fisiche che ci permettono di poter rappresentare i sistemi interagenti. Esistono poi delle limitazioni assolutamente di massima interagenti, indipendenti dal tipo di interazione. Le relazioni che rappresentano queste limitazioni si chiamano leggi di conservazione. Per ognuna di queste leggi viene definita una grandezza fisica che rimane costante lungo per tutto il moto del corpo ed è che viene determinata dalle condizioni iniziali. Queste costanti di movimento servono a predire l'evoluzione di un punto materiale o sistema di punti che interagiscono tra loro.

Lavoro

d^s: vettore spostamento

f: forza che verrà applicata passando da un punto da A a B

Θ: angolo tra d^s = E^e è sarà variabile perché sia d^s che f possono cambiare

Lavoro della forza nello spostamento AB

Integrale di linea della forza:

W = ∫_A^B F ds = ∫_A^B F cos Θ ds = ∫_A^B F_τ ds

Il lavoro è uno scalare. Somma di incrementi differenziali. Effetto della forza che sposta la traiettoria di un punto.

Il lavoro

Il lavoro differenziale corrispondente ad uno spostamento ds è:

dW = F ∙ ds̅

Se agiscono più forze, il lavoro è la somma dei singoli lavori oppure il lavoro della forza risultante:

W = ∫_A^B (∑_i (F̅_i ∙ ds̅) = ∑_i ∫_A^B F_i ∙ ds = ∑_i W_i

Se 0 ≤ θ ≤ π/2 ⇒ cos θ ≥ 0 ⇒ W ≥ 0

Se π/2 < θ ≤ π ⇒ cos θ < 0 ⇒ W < 0

Se θ = π/2 ⇒ cos θ = 0 ⇒ W = 0

|W| = Joule = Nm = Kg m² / s²

Attenzione: F_N ≠ fa lavoro, dove F_N è la forza normale

Potenza

Potenza: lavoro, la variazione del lavoro nell'unità di tempo

P = dW/dt = F̅ ∙ ds̅/dt = ∙v = F∙v = F cos θ ∙ v = F_T ∙ v (la velocità è tangente)

[P] = Watt: W = J/s

Potenza media:

P_m = W/Δt

Energia

L'energia è una grandezza scalare. Ci sono diversi tipi di energia con proprie caratteristiche. La legge fondamentale dell'energia esplicita che l'energia totale dell'universo si conserva per cui l'energia si può trasformare da un tipo all'altro.

• Energia cinetica

Energia legata al movimento del corpo. Partiamo dal lavoro infinitesimale:

dW = F ∙ ds̅ = F ds cos θ = F ds = = m a ds = m dv ds = m d(v ds/ds) = m v d(v/ds)

Lavoro finito:

W = ∫_v1^v₂ m v dv = 1/2 m v₂² - 1/2 m v₁² = ΔE_K

ΔΔ E_K la chiamiamo variazione dell'energia cinetica.

Per un'energia cinetica:

E_k = 1/2 m v² → Teorema dell'energia cinetica o delle forze vive

Il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica:

W = ΔE_k

Da questo vuol dire che l'effetto del lavoro della forza va a cambiare lo stato di moto del punto che passa ad avere una velocità iniziale v_i, a una velocità finale v_f. L'energia cinetica dipende dalla velocità che dipende dal sistema di riferimento scelto, per cui lo stato anche l'energia cinetica, ma la variazione ΔE_k non è dipendente dal sistema di riferimento. (Sono rilevanti le sue variazioni).

Il lavoro motore (W > 0) ⇒ aumenta l'energia cinetica

Il lavoro resistente (W < 0) ⇒ diminuisce l'energia cinetica

Il lavoro nullo (W = 0) ⇒ l'energia cinetica rimane costante

Il lavoro è nullo (ΔE_k = 0) quando:

• Non ci sono forze
• Ci sono forze ma la risultante è nulla
• Ci sono forze ma la risultante è ortogonale alla traiettoria (es. moto circolare uniforme)

Lavoro della forza peso

Abbiamo un corpo che si muove dall'altezza z_A a z_B lungo questa traiettoria con una propria forza peso d³ e il suo spostamento per tangente alla curva. Calcoliamo il lavoro differenziale:

dW = mg ∙ d³ = (-mg(ẑ_i ∙ d³) = -mg ds_v = -mg dz

Integriamo dW tra A e B e troviamo il lavoro finale:

W = ∫_A^B mg dz = - (mgz_B - mgz_A) = - (ΔE_P) → variazione di energia potenziale

Possiamo concludere che il lavoro della forza peso è uguale all'opposto della variazione dell'energia potenziale della forza peso, dove l'energia potenziale E_P è data da:

E_P = mg(ẑ)

Se ₂ ^A = ₂ ^B → lavoro nullo (W_c=0) → E_p costante

Lavoro della forza elastica

Per la forza elastica possiamo definire un'energia potenziale. Data F^→ = - k x u_x^→ il lavoro sarà:

W_a^b = ∫_A^B k x u_x•d^→x = - ∫_A^B k x dx = (1/2 k X_B² - 1/2 R X_A²) = - ΔE_p

dove E_p è l'energia potenziale della forza elastica:

E_p = 1/2 k x²

Il lavoro della forza elastica è uguale all'opposto della variazione della funzione E_p delle coordinate, della energia potenziale della forza elastica. Quando il punto si avvicina al centro E_p diminuisce, per cui ΔE_p è W_c perché la forza punta verso lo spostamento naturale. Quando il punto si allontana dal centro, E_p aumenta, per cui ΔE_p è W_c (bisogna togliere la nulla).

Lavoro della forza di attrito radente

Per l'attrito radente non possiamo definire un'energia potenziale. Il lavoro fatto sarà:

W = ∫_A^B μ_d N u_ab^→• ds^→ = -∫_A^B μ_d N | ds = - μ_d N S_AB dove S_AB = lunghezza della traiettoria.

In questo caso il lavoro dipende dalla varietoria (a differenza dei casi precedenti), per cui non esiste una E_p per l'attrito. Per cui: W = ΔE_p vale sempre. W = ΔE_p vale solo per alcune forze. Notiamo che W dell'attrito radente è sempre negativo.

Forze conservative

Forze il cui lavoro non dipende dal percorso. Quindi W_A^B=∫_A^BF⃗·ds⃗=−ΔE_p ha lo stesso valore qualunque sia la traiettoria AB. Alcune forze conservative sono: forza peso, forza elastica, forza gravitazionale, forze centrali, forza elettrostatica, forze costanti. Quindi:

• Per indipendenza dal percorso si ha che:
• ∫_A,C1^BF⃗·ds⃗=∫_A,C2^BF⃗·ds⃗
• ∫_B,C1^AF⃗·ds⃗=∫_B,C2^AF⃗·ds⃗
• Per le proprietà degli integrali si ha che:
• ∫_A,C1^BF⃗·ds⃗+∫_B,C2^AF⃗·ds⃗=∫_B,C1^AF⃗·ds⃗+∫_A,C2^BF⃗·ds⃗=0

Quindi la circuitazione di una forza conservativa è:

∮F⃗·ds⃗=0

e dire ciò è equivalente a dire del lavoro per dimostrare l'indipendenza di queste forze dal percorso.

Conservazione dell'energia meccanica

(1) L'energia meccanica si conserva quando agiscono solo forze conservative

Nel caso del Pe si... dove è detta energia meccanica: Con questa relazione si nota quindi che la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale resta costante durante il moto ciascuna forma di energia cambia, ma la somma resta costante. Se una diminuisce l'altra aumenta e viceversa.

Forze non conservative

Forze non conservative: forze in cui il lavoro dipende dalla traiettoria. Quindi con una circolazione del tipo Se il lavoro è sempre negativo, si parla di forze dissipative (attrito):

Il lavoro delle forze non conservative è uguale alla variazione dell'energia meccanica che non si conserva. In presenza di forze dissipative, l'energia meccanica diminuisce.

Momento di una forza

Momento di una forza rispetto ad un punto:

τ_o = r_o x F

r_o vettore posizione, |τ_o| = F r sinθ (def. prod. vettoriale)

Se il polo diventa O allora:

τ_o = (r_o - r_o') x F = (O' O¹+ r_o') x F_s

τ_o = 0 ¹+ o x F

Se al punto sono applicate più forze allora:

τ_o = r_o x F₁ + r_o x F₂ + ... + r_o x F_n = r_o x (F₁ + F₂ + ... + F_n) = r_o x F

[τ] = [r] · [F] = Nm = kg m² s^-2

Momento angolare

(Momento della quantità di moto)

Lo stesso procedimento alla quantità di moto, per cui il momento angolare è:

l = r x p = r x m v = r x mωr

Il momento angolare è sempre perpendicolare al raggio vettore e alla velocità.

Nel moto circolare nel piano, detta ω² si avrà:

l = r x mv_r + r x mv_θ = r x mv_θ

In modulo si avrà:

|l| = mr^2clo_dt = m r² ω

[L] = [r · p], = kg m²

Teorema del momento angolare

Supponiamo di avere un polo fisso O e un sistema con massa costante.

Andiamo a calcolare la variazione del riquadro nel tempo:

dL = dx mvτ + rx m d^v_dt = rx mvθ + rx mo = 0 = r_o x F_i

Enunciato: Il momento della forza è uguale alla derivata del momento angolare (rispetto al tempo).

τ = dL_dt