Dimostrazioni Fisica II

Lavoro forza elettrica

Noi sappiamo come in generale il lavoro di una forza F è dato da: L = ∫_A^BF • ds. Nel caso della forza elettrica, otteniamo che la forza con linee conservative ci giunge. Possiamo scrivere il lavoro come differenza dei potenziali agli estremi della carica: L = ∫_A^Bq E • ds = q (V_A - V_B) oppure q (V_A - V_B). Ricordando che stiamo lavorando con forze conservative, possiamo esprimere il lavoro come L = ΔU e quindi -ΔU = qΔV, cioè ΔU = -qΔV.

Calcolo del potenziale

Iniziamo dai più semplici, ovvero un campo generato da una carica puntiforme. Il lavoro della forza per uno spostamento elementare ds della carica q nel campo della carica puntiforme q₁ fissa in (-2, 0) è dato da: dL = q₁E • ds = q₁ q₁ / r² dr per cui: E ds = q/4πε₀ (1/r_B) - (1/r_A) => V = (V_B - V_A)

Ricordando che il potenziale e l'energia potenziale sono definiti a meno di una costante additiva, abbiamo che: V(-r) = q/4πε₀ + V_B - V_A = 0.

Campo come gradiente del potenziale

Abbiamo precedentemente dimostrato che se si conosce il campo elettrostatico in ogni punto di una curva che unisce due punti A e B, possiamo calcolare la differenza del potenziale mediante: ∫_A^B E • ds = V(_B) - V(_A).

Rotore del campo E

Essendo E conservativo, sappiamo che ∮E • ds = 0. Ovvero il lavoro generato per portare una carica q attraverso il percorso è nullo.

Lavoro forza elettrica

Noi sappiamo che in generale il lavoro di una forza f è svolto da: \(L = \oint \vec{F} \cdot d\vec{s} \). Nel caso della forza elettrica, otteniamo una forza conservativa, e quindi possiamo scrivere il lavoro come differenza di potenziali agli estremi della carica: \(L = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{s} = q \int_{A}^{B} \vec{f}_{st} \cdot \vec{ds} = f(A) - f(B) \).

All'opposto della funzione di f, siamo in nome del potenziale elettrostatico, ancora di inserire energia elettrica e la differenza di potenziale \((\Delta V_p = V_ab) \) e quindi vedendo il potenziale elettrostatico in un punto è definito in nome del campo elettrostatico \( \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{s} = -q \, [V_c(A) - V_c(B)] \) oppure \( q \, [V_{AB} - V_c(A)] - V_c(B) \).

Ricordando che stiamo lavorando con forze conservative, possiamo esprimere il lavoro come: \( L = \Delta V = q \, \Delta V \) quindi \( -\Delta V = -q \, \Delta V \) cioè \( \Delta U_e = q \, \Delta V \).

Calcolo del potenziale

Iniziamo dai più semplici, ovvero un campo generato da una carica puntiforme. Il lavoro della forza per uno spostamento dr all'interno del campo della carica puntiforme q con fissa in r₀₁ è dato da: \( dL = q_e \, dE_s \cdot Eq \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{dr}{r^2} \) per cui: \( E \cdot d_s = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{dr}{r^2} \).

\( E \cdot ds=\oint \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{dr}{r^2} = -\frac{1}{4\pi} \cdot \frac{4}{r^0} \) => \(\frac{1}{4\pi} ([V_{B \,} - \, V(A)]) \).

Ricordando che il potenziale e l'energia potenziale sono definiti a meno di una costante additiva, abbiamo che: \( V_c(B) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \).

\( UC_n = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} + B \) facendo tendere tra un punto A \, e con l \(v(A) = 0) \)

\( V_c([0])= U_c(\sigma=\eta) \) e quindi \( A_{E(s)}=0

Campo come gradiente del potenziale

Abbiamo precedentemente dimostrato che se si conosce il campo elettrostatico in ogni punto di una curva che unisce due punti A e B, possiamo calcolare la differenza di potenziale mediante: \( \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{s} = V_c(B)-V_c(A) \) quanto ultimo è indipendente dalla curva scelta.

Consideriamo uno spostamento infinitesimo \( ds \): \( ds=r \cdot dx + yd \cdot dy + zd \cdot dz \) che unisce i punti di coordinate \( A(x,y,z) \) \( B(x + dx, y+dy, z+dz) \).

La variazione di potenziale è data da: \(\Delta V = [V_c(x + dx,y + dy,z + dz) - V_c(x,y,z)] = -\int E\cdot ds \, =\, -([E_x \cdot dx + E_y \cdot dy + E_z \cdot dz)] \).

Svolgendo il passaggio scalare otteniamo che: \(dV \,= -E_x \, dx = -E_y \cdot dy -E_z \cdot dz \) cioè: \(dV \, = -dV/ \, d \cdot V_c(x) = = \partial V /\partial \cdot V_c(y) = -V_c(B) = \partial V /\partial \cdot V_c(z) = \).

E =-\nabla \cdot V

Rotore del campo E

Essendo E conservativo, sappiamo che \(\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} \cdot = \, 0\), ovvero la carica generativa per portare una carica q si muoverà in uno spostamento un percorso \(\mathbf{c}(circondato)\) \, è nullo.

Di conseguenza, applico il teorema di Stokes alla circuitazione di E: ∮_C E • ds = ∫_S ∇⨯E • n ds = 0.