Dimostrazioni Fisica 2

Circuito RC in fase di “carica” e “scarica”

Carica

Consideriamo il circuito con generatore E, resistore R e un condensatore C. Inizialmente “è scarico poiché” l'interruttore T è aperto. A t=0, T viene chiuso.

In un generico istante t, valgono le relazioni:

E = V_R(t) + V_C(t) = Ri(t) + q(t)/Ci(t) = dq(t)/dtR dq(t)/dt = E - q/Cdq/(q - CE) = -dt/RC

∫₀^q dq/(q - CE) = -∫₀^t (1/RC) dt

log(q - CE) - CE = -t/RC

q(t) = CE(1-e^-t/RC)

V_C(t) = q(t)/C = E(1-e^-t/RC)

i(t) = dq(t)/dt = (E/R) e^-t/RC

Nel processo di carica il generatore compie complessivamente il lavoro:

W_gen = ∫ Edq = EQ₀ = CE²

Scarica

V_C = q/C = V_R = Ri

i = dq/dt = -dq/dt = q/RC

∫₀^q dq/q = -∫₀^t (1/RC) dt

log(q/q₀) = -t/RC

q(t) = q₀ e^-t/RC

V_C(t) = V₀ e^-t/RC

i(t) = dq(t)/dt = -V₀/R e^-t/RC = V_C/R

W_R = ∫₀^V₀ (V_R(t)/R)dt = V₀²/R ∫₀^∞ e^-2t/RC dt = (1/2) CV₀² = q²₀/2C

Circuito RC in fase di “carica” e “scarica”.

Carica

Consideriamo il circuito con generatore E, resistore R e un condensatore C. Inizialmente “le carico polar” l'interruttore T è aperto. A t=0, T viene chiuso. In un qualsiasi istante t, valgono le relazioni:

E = V_R(t) + V_C(t) = Ri(t) + q(t)/C

i(t) = dq(t)/dt

R dq(t)/dt = E - q/C

dq/(q-CE) = -dt/RC

∫₀^q dq/(q-CE) = -∫₀^t (1/RC) dt

log (q-CE/-CE) = -t/RC

q(t) = CE (1-e^-t/RC)

V_C(t) = q(t)/C = E (1-e^-t/RC)

i(t) = dq(t)/dt = E/R e^-t/RC

Nel processo di carica il generatore compie complessivamente il lavoro:

W_gen = ∫ Edq = Eq₀ = CE²

Scarica

V_C = q/C = V_R = Ri

i = dq/dt

dq/dt = -q/RC

∫_q⁰ dq/q = -∫₀^t (1/RC) dt

log q/q_o = -t/RC

q(t) = q_o e^-t/RC

V_C(t) = V_o e^-t/RC

i(t) = dq/dt = -q/RC e^-t/RC

= V_o/R e^-t/RC = V_C/R

W_R = ∫₀^t (R i²(t) dt = V_o²/R ∫₀^∞ e^-2t/RC dt = 1/2 CV_o² = q²_o/2C

Campo magnetico B prodotto da un solenoide toroidale

Un solenoide toroidale è costituito da N spire avvolte attorno a un toroide. Nel solenoide circola la corrente i. Le linee di campo magnetico all'interno del solenoide sono circonferenze con centro sull'asse del toroide e il modulo di B pertanto dipende solo dalla distanza dall'asse.

Applicando la legge di Ampère ∮ B ⋅ ds = μ₀ i a tale circonferenza di raggio t si ha ∮ B ⋅ ds = 2πr B ≃ μ₀ Ni, in quanto la linea di integrazione contiene tutte le N spire.

Quindi B = μ₀ Ni / 2πr.

Il campo magnetico è variabile come 1 / all'interno della sezione del toroide. Solo se la differenza tra i vari raggi massimo e minimo è piccola rispetto al raggio medio r_m si può assumere che B sia uniforme in modulo nel toroide. All'esterno, se le spire sono compatte, il campo magnetico è nullo.

Circuito RL in fase di “carica” e “scarica”

Chiusura

Ɛ + Ri = L di / dt ⇒ Ɛ = L di / dt + Ri ⇒ Ɛ ⋅ Ri = Ɛ e^-t/τ_S

i(t) = (Ɛ / R) * (1 - e^-t/τ_S)

τ_S = L/R

Corrente di regime: i_∞ = Ɛ / R

Ɛ_L = - L di / dt = -Ɛ e^-t/τ_S

i(t) = Ɛ / R (1 - e^-t/τ_S)

Apertura

All'istante di apertura t = 0 la corrente nel circuito ha il suo valore di regime i_∞ = Ɛ / R. In seguito l'intensità di corrente varia ora con la legge i(t) = Ɛ / R e^-t/τ'

τ' = L/R'

La forza elettromotrice di autoinduzione Ɛ_L = -L di / dt = R' i e^-t/τ'. Essa risulta particolarmente elevata all'apertura ⇒ i'_i = Ɛ_L/ R'.

Questo occorre diversa da zero per un tempo molto breve si chiama extracorrente di apertura.

Densità di energia di B

Partendo dall'espressione dell'energia intrinseca della corrente U_L = 1/2 L i².

Consideriamo un tratto di solenoide rettilineo indefinito lungo d. L'induttanza per unità di lunghezza L_l = μ_on²Σ.

Il campo magnetico di un solenoide rettilineo indefinito è B = μ_oni —> U_L = 1/2 L i² = 1/2 (μ_on²Σ d) i² = B²/2μ_o Σ d = (B²/2μ_o) T, T volume.

La densità di energia risulta quindi u_m = B²/2μ_o.

Mutua induzione tra filo indefinito e bobina rettangolare

Sul filo indefinito circola una corrente i: il campo magnetico prodotto ad una distanza x dal filo B(x) = (μ_o i)/(2π x).

E il flusso concatenato con l'elemento di superficie dΦ(x) = B(x) b dx di bx e altezza b è dΦ(x) = B(x) b dx = (μ_o i b)/(2π x) dx.

Integrando Φ = ∫_xo^x_o+a (μ_o i b)/(2π) log (x_o+a)/x_o.

Quindi il coefficiente di mutua induzione M = Φ/i = (μ_o b)/(2π) log (x_o+a)/x_o.

Se il circuito consiste di N avvolgimenti M_N = (N μ_o b)/(2π) log (x_o+a)/x_o.

Il trasformatore ideale

Supponiamo il circuito primario puramente induttivo, avrete l'eventuale resistenza sia R_s << ωL_p. La corrente i_p è sfasata di π/2 rispetto a V_p e quindi: cos φ = 0 nel circuito primario non è dissipata potenza.

Tenendo aperto l'interruttore nel circuito secondario ai capi del primario c'è la tensione:

V_p = - N_p ∙ dΦ_b(B)/dt

Se non c'è dispersione di flusso, ai capi del circuito secondario è indotta la tensione:

V_s = - N_s ∙ dΦ_b(B)/dt

Dal confronto delle due espressioni si ottiene:

V_s/V_p = N_s/N_p

D'altra parte, non essendo resistenza nel circuito primario, risulta 𝛶 + 𝛷 = 𝜀 - dΦ_b(B)/dt = 𝛶 + V_F = 0 ⟶ 𝜀 = -V_p.

Perciò il confronto si risolve:

V_s/ 𝜀 = -N_s/N_p

Rapporto di trasmissione

• Se N_s > N_p trasformatore in salita
• N_s < N_p trasformatore in discesa

Si può dimostrare che tra le correnti si ha la relazione i_s/i_p = N_p/N_s.

Supponendo che il primario e il secondario siano equivalenti di sequenza serie, avrete: viene dunque 1/2L_p1S + L_s՜ Moltiplicando e sostenendo in particolare al corrisponde del primo E_o/t + i_p(L_{p x} 1)1 M = 𝜀 e poiché + L_s ● 1 M = 𝜃.

Avere il caro R_s riduce di una certa efficienza E_s pari a quella del primario, riducendo per il rapporto tra il numero di spostamento di potenza e operare in questo simile si verta: risolve il sistema di partenza: i_sp(t) = E_o↦ _sesp + i_po cos(ωt) + i_os N_s/N_p cos(ωt) da parte ognuno del corrente generato E s e quindi E(1/cos(ωt)) + ε_s t_s/V cos(ωt).

Legge di Ampère - Maxwell e rotore di B

Legge di Ampère - Maxwell

∮_βB · ds = μ₀I_c

Dobbiamo all'interno del condensatore aggiungere una corrente di spostamento i_s = ε₀ dΦ(E)/dt.

Portando la corrente che percorre il circuito durante la carica di conduzione i_c e di spostamento i_s tra le armature del condensatore. La legge di Ampère - Maxwell diventa:

∮_βB · ds = μ₀(i_c + ε₀ dΦ(E)/dt)*

Se non ci sono correnti di conduzione:

∮_βB · ds = μ₀ε₀ dΦ(E)/dt = 1/c₂ dΦ(E)/dt

Questo perché stabilirà una simmetria di comportamenti con la legge di Faraday ∮E·ds = -dΦ(B)/dt.

Rotore di B

Dalla legge di Ampère - Maxwell si ha:

∮_βB · ds = ∇ × B · n dΣ = μ₀∫_Σj · n dΣ + ε₀∫_Σ∂E/∂t · n dΣ

∇ × B = μ₀j + ε₀ ∂E/∂t = μ₀j + 1/c₂ ∂E/∂t

Deduzione dell’equazione delle onde elettromagnetiche dalle equazioni di Maxwell

Partendo dalle equazioni di Maxwell:

I ∮E · n dΣ = 0     II ∮B · n dΣ = 0

III ∮E · ds = -dΦ(B)/dt     IV ∮B · ds = ε₀μ₀ dΦ(E)/dt

Annulliamo alle onde elettromagnetiche piane che si propagano lungo l'asse x (E_y, B_z, 0).

Le soluzioni alle eq. di Maxwell sono:

E(x,t) = E_x(x,t) x̂ + E_y(x,t) ŷ + E_z(x,t) ẑ

B(x,t) = B_x(x,t) x̂ + B_y(x,t) ŷ + B_z(x,t) ẑ

Le soluzioni alle eq. III e IV di Maxwell sono:

∂E_y/∂x = ∂B_z/∂t    ∂E_y/∂x = 1/ε₀μ₀ ∂B_z/∂t

∂E_z/∂t = ∂B_y/∂x    ∂B_x/∂t = ∂E_z/∂x

Derivando rispetto a x e a t le prime 2:

∂²E_y/∂x² = ∂²B_z/∂t∂x

∂²B_y/∂x∂t = 1/ε₀μ₀ ∂²E_z/∂t∂x

∂²E_y/∂x² = ε₀μ₀ ∂²E_y/∂t²    ∂²E_x/∂x² = ε₀μ₀ ∂²E_x/∂t²

Devo così le eq. E_y(x,t) = E₀ cos(kx - ωt) ŷ + E₀ cos(kx - ωt) ŷ

B(x,t) = ...+ E₀ cos(kx - ωt) ẑ

Leggi della riflessione e rifrazione

Per il principio di Fermat (minimo tempo) cercheremo di provare la legge di Snell, ovvero che il tempo di percorrenza per partire dal punto A al punto B. La luce avrà velocità v₁ nel mezzo 1, v₂ nel mezzo 2.

Il tempo totale:

T ≈ ^AO/_V1 + ^OB/_V2 + _ay/_v1cosθ1 + _by/_v2cosθ2

Condizione necessaria per avere un minimo è che dt=0 ossia:

dt= _ay/_V1 d¹/_cosθ1 + _by/_V2 d¹/_cosθ2 = 0

_ay ^senθ₁/_cosθ1 dθ₁ + _by/_v2 d^senθ₂ dθ₂ = 0 (1)

Cambiando la traiettoria variano a_x e b_x, ma resta costante la loro somma:

a_x + b_x = cost

a_y tgθ₁ + b_y tgθ₂ = cost

a_y d(tgθ₁) + b_y d(tgθ₂) = 0

⟹ a_y dθ₁/_cos²θ1 + b_y dθ₂/_cos²θ2 = 0

⟹ a_y dθ₁/_cos²θ1 = - b_y dθ₂/_cos²θ2 (2)

Inserendo la (2) in (1):

_ay/_cos²θ1 dθ₁ [ ^senθ₁/_v1 - ^senθ₂/_v2 ] = 0 ⟺ ^senθ₁/_v1 = ^senθ₂/_v2

Legge di Snell

Diffrazione

Abbiamo affrontato solamente la diffrazione di Fraunhofer, in cui lo schermo C è ad una grande distanza dall'apertura.

Differezza di fase _δ = ^2π/_λ ∆y senθ, ∆y = ^λ/_N, a largh. fenditura

Ep = E_max sen ^δ/_/2, I(θ) = I_max (sen ^δ/_/2)²

Larghezza angolare max centroide diffrazione ∆(senθ) = ^λ/_a

Larghezza angolare minima Δθ = ^2λ/_a, λ ≪ a

Effetto Doppler classico

Quando sorgente e osservatore sono in moto relativo tra loro, la frequenza dell'onda percepita dall'osservatore è diversa da quella emessa dalla sorgente.

Per le onde elettromagnetiche (non hanno mezzo) posso avere 2 situazioni:

1. Sorgente ferma, osservatore in movimento

λ' = v(v-V_s) → λ' = (v)(v-V_s)

T = osserv. in avvicinamento

v₁ = (v)(v-V_s)

Allontanamento

v₁ = (v)(v+V_s)

2. Osservatore in movimento, sorgente ferma

v velocità onda (nel mezzo)

V_s velocità sorgente

λ_e λ' sono lung. onda e freq. sorgente

t=0

t=T → λ' = vT-V_s → λ = vT

Osservatore in avvicinamento

λ' = v (1)(1 - V_R/v)

Osservatore in allontanamento

Osservatore _vV_R velocità osservatore

Interferenza tra due sorgenti coerenti: (exp Young)

Partendo da una sorgente S₀, la luce incontra una barriera con 2 fenditure S₁ e S₂, la luce viene così diff rttata. Se S₁ e S₂ diventano così 2 sorgenti coerenti: sincrone, le quali emettono luce che produce su uno schermo posto a distanza L (L≫d) una figura di interferenza costituita da frange chiare (massimi) e scure (minimi).

La formazione delle frange di interferenza è data da:

E_x = E₀ sin (kX - ωt)

E_z = E₀ sin (kZ - ωt), ma x₂ ≠ x₁ x₁ ≈ z₂ perché L≫d

La differenza di fase tra le due onde: δ = k(x₂ - x₁) = k d sen θ = 2πd sen θ

Il campo elettrico risultante: E_P = E_P sen (ωt + φ) = E₀ sen (kX - ωt) + E₀ sen (kZ - ωt)

L'ampiezza del campo elettrico risultante: E_P = √

L'intensità luminosa in P è data da: I_p = I₁ (1 + cos δ) = 4I₁ cos² δ

Interferenza tra un insieme finito di sorgenti coerenti

E_R, 2P sen φ, arco di raggio φ, δ = 2πΠ d sen θ = f_R 2P sen N

Intensità max princ: I_max = N²I₁

Intensità max secondaria: I_m = I₁

max princ: sen θ = mΛ/d, m=0, ±1, ±2, ...

minimi: sen θ = m₁ Λ/Nd

max secondari: sen θ = (2m₁ + 1) Λ/2Nd

m₁ : 1, 2, ..., N - 2, N - 1, ..., 2(N - 1), 2N + 1, ...