Dimostrazioni e teoremi algebra

Spazi scalari e ortogonalità

Proprietà

Prop: V(K) spz. vet. con prodotto scalare.

A ≤ V(K), A ≠ φ allora:

1. A^⊥ ≤ V(K)
2. A^⊥ = [L(A)]^⊥

Oss: V(K) spz. vet. finito dim. generato con prodotto scalare.

A ≤ V(K), A ≠ φ

B = base di L(A) => L(B) = L(A)

A^⊥ = [L(A)]^⊥ = [L(B)]^⊥ = B^⊥

=> dato A ≤ V(K) per trovare A^⊥, determino una base B di L(A) e calcolo B^⊥

Proiezione e vettore ritoto

Prop: V(K) spz. vet. con prodotto scalare "=" U, U' ≤ V(K) con w · w ≠ 0

In Rⁿ con presi (3, 4, 5w) · (3, 4, 5i²) = 0

Allora è sempre possibile scrivere U = U₁ + U₂ dove

U₁ = vettore proiezza W

U₂ = vettore ritoto A W

U₁ = ((v · w) / (w · w)) w

U₂ = U - U₁ = U - ((v · w) / (w · w)) w

=> coeff. proiezza di v lungo w

=> proiez. di v lungo w

Propr. scalare e ortogonalità

Proprietà con V(0n)

Prop: V(0n) spz vett con prodotto scalare

A < V(0n), A != # allora:

1. A⁺ < V(U)
2. A⁺ = [L(s(A))]^A

Oss. V(0n) spz vett finit. generato con prodotto scalare.

A < V(0n), A != ∅

B = base di s(A) => s(B) = s(A)

A⁺ = [L(s(A))]⁺ = [L(s(B))]⁺ = B⁺

=> dato A < V(0n) per trovare A⁺, determino una base B di s(A) e calcolo B⁺

Proiezione con u e w

Prop: V(0n) spz vett con prodotto scalare " " u, w e V(0n) con w · w != 0

[u in Rⁿ con es: (3,4,5<?) · (3,4,5<?) = 6?]

Allora è sempre possibile scrivere V = V₁ + V₂ dove

V₁ = vettore proiez. a w

V₂ = vettore riflzo. a w

V₁ = (u · w / w · w) w

V₂ = V - V₁ = V - (u · w / w · w) w

=> coeffe frequenza di u lungo w

=> proiez. di u lungo w

Proprietà della norma

1. ||v|| > 0    v < v > (R)
2. ||v|| = 0 <=> v = 0
3. ||u . v|| = ||u|| ||v||
4. |u . v| <= ||u|| . ||v||    disuguaglianza di Cauchy - Schwartz
5. ||u + v|| >= ||u|| + ||v||    disuguaglianza triangolare

Teorema

B = (e₁, e₂, ... , e_m) una base di V⁰_m (R)

La sequenza e' = (e^'₁, e^'₂, ... , e^'_m) cosi definita:

e^'₁ = e₁

e^'₂ = e₂ - _{e2 . e^'1}/_{e^'1 . e^'1} e^'₁

Prof

B = (e₁, ... , e_m) base ortogonale di V⁰_m (R) un i-esimo componente rispetto a B di un vettore v è il coeff. di Fourier di v lungo e_i

v = a₁e₁ + ... + a_me_m    a_i = _{v . ei}/_{ei . ei} = 1   b c d.3 ortogonali => a_i = v . e_i

Teorema

A ⊆ V⁰_n (R), A != 0 -> V⁰_n (R) = S(A) ⊕ A^⊥

-> m = dim S(A) + dim A^⊥

A < V⁰_n (R) -> V⁰_n (R) = A ⊕ A^⊥

Dim A

Dim A m x m => le equazione di A sono vettori di Rⁿ e L(12) ≤ Rⁿ generato dalla righe di A, dim S(12) = S(A)

R^m è dotato del prodotto scalare euclideo (cosi), quindi la sistema Ax=0 puo essere

{ b₁x₁ + a₁x₂ + ... + a_1mx_m = 0

{ a₂x₁ + a₂x₂ + ...

l'insieme S vale S(Ax) = [R(12)]⁺

Matrici di forme bilineari

Teorema

Teorema: Una forma bilineare e simmetrica se la matrice associata e simmetrica

Dim: ^* e simmetrica <=> e_i * e_j = e_j * e_i <=> A = A^T <=> A simmetrica

Prop

Prop B = base di un (V) e sia * una forma bilineare

V * W = ?

x = (x₁, ... , x_m)

y = (y₁, ... , y_m)

Le matrici colonna delle componenti in B dei vettori v e w

V * W = x^T x A_B x y

Matrici ortogonali

Prop A = matrice ortogonale => det A = +1

Dim 1 + det I_m = det(A . A^-1) = det(A . A^T) = det A . det