Dimostrazione Geometria 3D - Costruzione del fascio proprio di piani

Il fascio proprio di piani

π π.

Un piano è un sottoinsieme proprio dello spazio; pertanto esistono punti dello spazio non appartenenti al piano. Sia

π π.

P un punto del piano e sia R un punto non appartenente al piano.

I punti P e R individuano una retta r nello spazio. La retta r è illimitata nei due versi e quindi ammette punti in entrambi

π. π π.

i semispazi di origine il piano. La retta r non appartiene al piano perché il punto R non appartiene al piano.

π

Nel piano si traccia una circonferenza C di centro il punto P. Una retta diametrale a della circonferenza C è una retta

π.

del piano. Essa incontra la circonferenza nei punti A e A'.

π

Esistono nel piano infinite rette diametrali della circonferenza C: sia b una di esse.

α. α π,

Le rette a e r individuano nello spazio un piano. Il piano è diverso dal piano perché la retta r non appartiene al

π.

piano β. β π,

Le rette b e r individuano nello spazio un piano. Il piano (non rappresentato in figura) è diverso dal piano perché

π.

la retta r non appartiene al piano.

β α

Il piano e il piano sono piani diversi perché se coincidessero, le rette a, b e r apparterrebbero a uno stesso piano, ma

π π.

il piano delle rette a e b è il piano e r non appartiene al piano.

Per una retta r dello spazio si possono pertanto condurre infiniti piani, (perché infinite sono le rette diametrali). Tali

rette formano il fascio proprio di piani di cui r è il sostegno.