Diffusione da superfici frattali: il metodo delle condizioni al contorno estese

Università degli Studi di Napoli

“Federico II”

Facoltà di ingegneria

Corso di laurea in ingegneria delle telecomunicazioni

(Classe delle lauree in ingegneria dell’informazione n. 9)

Dipartimento di ingegneria elettronica

E delle telecomunicazioni

TL

Tesi di laurea

Diffusione da superfici frattali:

Il metodo delle condizioni al contorno

Estese

Relatore candidato

Ch.mo Prof. Nicola De Rosa

Daniele Riccio Matr. 540/651

Correlatori

Prof. Antonio Iodice

Ing. Giuseppe Ruello

Anno accademico 2003/2004

Indice

Introduzione ………………………………………………………………. 5

Capitolo 1: Geometria frattale

1.1 Introduzione…………………………………………………………...8

1.2 Dimensione frattale…………………………....……………………..11

1.3 Modelli di superfici frattali…………………….................................12

1.4 Modello fBm (Fractional Brownian Motion)......................................12

1.5 Modello WM (Weierstrass-Mandelbrot)............................................15

1.6 Legame tra fBm e WM...............................................................18

Capitolo 2: Un nuovo modello elettromagnetico: EBCM applicato a

superfici frattali 1-D

2.1 Introduzione………………………………………………………....19

2.2 Modello del profilo superficiale......................................................20

2.3 EBCM (Extended Boundary Conditions Method)..............................20

-2.3.1 Equazioni integrali........................................................................20

2.4 Espansione del campo sulla superficie..............................................23

-2.4.1 Introduzione alla valutazione del campo sulla superficie…….....25

-2.4.2 Calcolo di I .................................................................................26

D

-2.4.3 Calcolo di I .................................................................................29

N

2.5 Valutazione analitica del campo sulla superficie e del campo diffuso

e trasmesso……………………………………………………………32

2.6 Criterio di troncamento....................................................................35

2.7 Valutazione dell’efficienza del metodo...........................................37 2

-2.7.1 Esempi dimostrativi dell’efficienza del metodo........................38

2.8 Esempi numerici...............................................................................43

2.9 Analisi della convergenza...............................................................50

Il modello

Capitolo 3: EBCM applicato a superfici frattali 2-D di

conduttore elettrico perfetto

3.1 Introduzione………………………………………………………....57

3.2 Modello di superficie.......................................................................57

3.3 Modello elettromagnetico...............................................................58

3.4 Espansione del campo superficiale…………………………………60

-3.4.1 Introduzione alla valutazione del campo sulla superficie………60

-3.4.2 Calcolo dell’integrale di Dirichlet………………………………61

3.5 Valutazione analitica del campo sulla superficie e del campo diffuso……65

-3.5.1 Risoluzione dei problemi scalari………………………………..66

3.6 Esempi numerici……………………………………………………..71

Conclusioni …………………………………………………………….79

Appendice I: Programma usato per il calcolo delle potenze e per i grafici dei

diagrammi di irradiazione nel caso monodimensionale…………………………81

Appendice II: Programma usato per il calcolo delle potenze e per i grafici dei

diagrammi di irradiazione nel caso monodimensionale con fissata

precisione………………………………………………………………..85

:

Appendice III: Programma usato per il calcolo delle potenze e per i grafici dei

diagrammi di irradiazione nel caso bidimensionale……………………………..89

Appendice IV

.: Programma per la generazione di una WM

monodimensionale..................................................................................92

. 3

Appendice V

: Programma per la generazione di una WM

bidimensionale.......................................................................................92

Bibliografia …………………………………………………………….93

4

Introduzione

Quando una radiazione elettromagnetica incide sulla superficie di un materiale, possono verificarsi fenomeni di riflessione per cui la radiazione stessa può essere rinviata del tutto o in parte nello stesso mezzo dall’interfaccia che separa i due mezzi considerati, fenomeni di diffrazione per cui l’onda elettromagnetica incidente penetra nella zona d’ombra dell’ostacolo stesso a causa ad esempio dell’incidenza su spigoli che provoca onde da cammini multipli, e fenomeni di diffusione per cui la radiazione viene dispersa in tutte le direzioni a causa di particelle sospese presenti nel mezzo attraversato.

Tale radiazione dispersa non è altro che il campo diffuso. La conoscenza del campo diffuso è di notevole importanza per lo studio dell’impatto sull’ambiente delle interazioni elettromagnetiche.

Negli ultimi anni sono state sviluppate numerose tecniche di telerilevamento che hanno costituito e costituiscono tuttora una risorsa importantissima per avere notizie su fenomeni naturali di varia natura e di pari rilevanza.

Uno dei sistemi più noti per telerilevare i dati è il SAR, acronimo per radar ad antenna sintetica, grazie al quale è possibile poter lavorare in qualsiasi condizione climatica ed indipendentemente dall’ora del giorno e ricavare le proprietà fisiche di una porzione della superficie terrestre a partire dalla conoscenza del campo diffuso.

Consci di questo fatto, affronteremo in questa tesi un rilevante problema di diffusione elettromagnetica. Come in ogni problema di questo tipo, vanno stabiliti due modelli:

• Modello di superficie;
• Modello elettromagnetico.

Per quanto riguarda il modello di superficie, sono stati sviluppati modelli classici che descrivono superfici naturali rugose attraverso processi stocastici bidimensionali che presentano una data densità di probabilità (di solito gaussiana) e funzione di correlazione (anch’essa gaussiana per superfici molto rugose o esponenziale per superfici poco rugose o una combinazione di esse).

Tali modelli si scontrano però con la realtà dal momento che sono incapaci ed inadeguati per descrivere le superfici naturali che sono autosimilari, cioè presentano proprietà di invarianza di scala.

Per tale motivo viene introdotta la geometria frattale. I modelli frattali più noti per superfici naturali sono il modello WM (Weierstrass-Mandelbrot) e il modello fBm (Fractional Brownian motion).

L’fBm è un processo continuo non differenziabile in alcun punto ad incrementi stazionari.

Il vantaggio derivante da quest’ultimo è dovuto al fatto che permette di ricavare in forma chiusa e semplice la densità di potenza diffusa (e quindi il coefficiente di backscattering o retrodiffusione) sia sotto l’approccio di Kirchhoff sia con l’utilizzo del modello elettromagnetico SPM (Small perturbation method), sotto particolari limiti di validità da non violare.

Lo svantaggio principale è dovuto al fatto che esso non fornisce un’espressione analitica della superficie. Per risolvere tale problema può essere usata un’altra particolare funzione frattale, la WM a banda limitata, che bene approssima l’fBm.

Per quanto riguarda il modello elettromagnetico, viene usato il metodo EBCM, acronimo per ”Metodo delle condizioni al contorno estese”.

La tesi è suddivisa in tre capitoli. Nel primo si evidenzia l’importanza della geometria frattale e vengono descritti i vantaggi e gli svantaggi dei due modelli di superfici frattali sopra citati, l’fBm e la WM.

Nel secondo viene affrontato il problema della diffusione elettromagnetica da una superficie monodimensionale che separa due mezzi con permittività e permeabilità diverse.

Gli esempi numerici vengono mostrati in relazione a una situazione in cui il profilo superficiale separa

ε

lo spazio libero da un mezzo dielettrico di permittività dielettrica, con le stesse

r

permeabilità.

Utilizzando la proprietà della WM di essere quasi-periodica, il campo diffuso e quello trasmesso risultano scritti come sovrapposizione finita di modi di Floquet espressi in termini di matrici di dimensioni infinite.

Per poter avere una soluzione numerica del problema bisogna troncare le matrici in gioco.

Viene così mostrato un criterio di troncamento suffragato da varie considerazioni che ne evidenziano la fondatezza e l’efficienza.

I risultati cui giungiamo sono in linea con le aspettative teoriche.

Nel terzo capitolo, invece, viene affrontato lo stesso problema nel caso bidimensionale, nell’ipotesi in cui lo spazio dielettrico sia sostituito da un conduttore elettrico perfetto.

Anche in tal caso il campo diffuso risulta scritto come sovrapposizione di modi e i risultati sperimentali confermano l’efficienza del modello usato.

6

In fondo, invece, vengono riportate delle appendici in cui sono mostrati i programmi realizzati col software Matematica 5.0, usati per testare e avvalorare il metodo implementato. 7

Capitolo 1

Geometria frattale

1.1 Introduzione

Il termine frattale, coniato nel 1975, trae la sua etimologia dal latino fractus, da frangere, cioè rompere.

Fu nel 1983 che tale termine acquisì vastissima notorietà presso matematici, scienziati e pubblico non specializzato grazie all’opera The Fractal Geometry of Nature scritta dal matematico Benoit B. Mandelbrot (1924-).

“Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, i litorali non sono lisci, né la traiettoria di un fulmine è una linea retta”, così il matematico polacco è solito descrivere l’inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione della natura.

In effetti si è resa necessaria l’introduzione di un tale tipo di geometria dal momento che le frastagliature degli oggetti naturali non potevano essere descritte dalla geometria euclidea.

Infatti gli oggetti della natura (alberi, foglie, felci) presentano delle caratteristiche irregolari per cui è praticamente impossibile studiarle usando le proprietà della geometria euclidea (rette, poligoni, cerchi).

Tutto ciò che si incontra in natura è più complesso e frammentato.

Consideriamo ad esempio una comune felce. La cosa che si nota immediatamente è che una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa.

Ed allo stesso modo si può procedere innumerevoli volte fino a ridursi a parti sempre più piccole.

Nella figura di seguito riportata sono evidenziati i primi tre passi di questo confronto (Fig. 1).

La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell’intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu.

Si veda a tal proposito anche la Fig. 2 in cui viene rappresentato in maniera chiara questo procedimento. 8

Fig. 1

Fig. 2

Questa proprietà prende il nome di autosimilarità (o autosomiglianza): una parte dell’oggetto è simile al tutto.

Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica, un frattale, se ingrandito, invece di perdere dettaglio si arricchisce di nuovi particolari.

L’irregolarità dei frattali è infinitamente stratificata.

A dispetto dell’estrema varietà di forme, la generazione di molti di questi oggetti è particolarmente semplice e può essere fatta sia con un programma di poche righe sia a mano seguendo particolari procedure e regole matematiche.

Ad esempio vediamo come si costruisce il merletto a trina di Koch conosciuto anche come curva di Von Koch, che deve il suo nome al matematico H. Von Koch che lo introdusse in un articolo pubblicato nel 1904.

Si considera un segmento e lo si divide in tre parti uguali, la parte centrale viene cancellata e sostituita da due segmenti di lunghezza uguale al precedente e inclinati di 60°, in modo da formare

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un triangolo equilatero.

Questa operazione viene iterata più volte ottenendo man mano una figura sempre più complessa (Fig. 3).

Fig. 3: Merletto a trina di von Koch

Si può notare che tale tipo di curva è continua ma non derivabile in alcun punto.

Dal merletto a trina di Koch si può ottenere il cosiddetto fiocco di neve. Basta combinare insieme tre copie del frattale lungo i lati di un triangolo equilatero, ottenendo la Fig. 4.

Fig. 4: Fiocco di neve di Von Koch 10

Osserviamo che tale curva ha una lunghezza infinita pur racchiudendo un’area finita (cosa questa che sarebbe impossibile realizzarla con la geometria euclidea).

Come si nota dagli esempi, gli oggetti frattali presentano la proprietà di invarianza di scala, nel senso che le proprietà statistiche di un oggetto frattale sono le stesse al variare della scala di osservazione.

Bisogna tuttavia notare che per frattali costruiti attraverso procedure analitiche o computazionali, detti perciò deterministici, non c’è alcun limite di scala, mentre le superfici naturali sono dei frattali aleatori in un ampio ma limitato range di scale.

Infatti in tal caso il limite inferiore lo si raggiunge quando si arriva a una descrizione chimico-atomico-molecolare dell’oggetto considerato, mentre il limite superiore è dovuto essenzialmente alla finitezza di un qualsiasi oggetto reale.

È straordinario, tuttavia, il fatto che i frattali, dedotti da algoritmi così semplici, mostrino forme così complesse e così somiglianti a ciò che la natura propone al nostro sguardo quotidianamente.

1.2 Dimensione frattale

Fino agli anni ’70, non essendo ancora stata introdotta la geometria frattale, come prevedeva la geometria euclidea, la dimensione geometrica era un numero intero: 0 il punto, 1 la retta, 2 il piano, 3 il volume; solo in seguito, grazie agli studi di Hausdoff e Besicovitch è stato evidenziato che tale definizione può essere estesa, nel senso che la dimensione geometrica può essere anche un numero non intero, in generale un numero reale positivo.

Cominciamo a darne una definizione operativa: se r è la dimensione del “righello” con il quale si ipotizza di misurare l’oggetto (o la curva o la superficie) ed N sono il numero di volte che il “righello” è contenuto nell’oggetto di dimensione D da misurare, allora usiamo un “righello”

 

1

 

 

1 LogN

 

D

 

r= . Passando ai logaritmi ricaviamo D= . Facciamo un esempio:

  1

N Log r

consideriamo la curva di von Koch precedentemente descritta: al primo passo

2 ( i )

   

1 1 1 ( )

i

   

r= , N=4²; all’i-esimo passo r= , N=4ⁱ.

, N=4; al secondo r=    

3 3 3 11

Log 4

=

D

In tutti i casi e ciò evidenzia che la dimensione della curva di von

Log 3

Koch è 1.2618.

Quindi tale dimensione ci dice che quest’oggetto non è né una

compresa fra le due

linea né una superficie, ma è un qualcosa con una dimensione

e ci dà un’idea di quanto il frattale riempia il piano.

Frattali di dimensione prossima ad 1 saranno simili ad una curva, frattali di dimensione prossima a 2, tenderanno ad occupare tutto il piano.

Quindi la dimensione frattale misura quanto è frastagliato e irregolare un oggetto.

1.3 Modelli di superfici frattali