Derivate per campi scalari

Derivate di campi scalari

Sia \( F: A \in \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m \) \( \bar{x} \in \text{Int}(A) \), \( v \in \mathbb{R}^m \setminus \{0\} \), si definisce derivata direzionale di \( F \) in \( \bar{l} \) lungo \( v \) il limite \( \lim_{t \to 0} \frac{F(\bar{x} + tv) - F(\bar{x})}{t} \).

In virtù dell'equivalenza tra limite globale e limite per componente, se \( F(\bar{x}) = (F_1(x), F_2(x), \ldots, F_n(x)) \). Allora \( F \) derivabile lungo \( v \) in \( \bar{x} \iff F_i \) derivabile lungo \( v \) in \( \bar{x} \), \( \forall i = 1, \ldots, n \).

Differenziabilità

Sia \( F: A \in \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m \) \( \bar{x} \in \text{Int}(A) \); diciamo che \( F \) è differenziabile in \( \bar{x} \) se esiste l'applicazione lineare \( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) tale che \( F(\bar{x} + h) - F(\bar{x}) = T(h) + o(\|h\|) \), \( h \to 0 \).

\( T: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m \) e esiste \( B \) (matrice) \( m \times n \) tale che \( T(h) = B \cdot h \).

Osserviamo che \( F \) è differenziabile in \( \bar{x} \iff \) tutte le componenti sono differenziabili.

Matrice Jacobiana

Def: Sia \( F \) differenziabile in \( \bar{x} \), allora si definisce matrice Jacobiana di \( F \) in \( \bar{x} \) \( JF(\bar{x}) = \begin{bmatrix} \frac{dF_1(\bar{x})}{dx_1} & \frac{dF_1(\bar{x})}{dx_2} & \cdots & \frac{dF_1(\bar{x})}{dx_m} \\ \frac{dF_m(\bar{x})}{dx_1} & \cdots & \frac{dF_m(\bar{x})}{dx_m} \end{bmatrix} \text{ gradiente } F_1(x) \ldots \text{ gradiente } F_m(x) \) J(F(x)) matrice mxn.

\( T(h) = \begin{bmatrix} \text{valore m-esima} \\ \text{vettore m-esima} \end{bmatrix} \) \( JF(x) \cdot h = \begin{bmatrix} dx \cdot F_1(h) \\ \ldots \\ dx \cdot F_m(h) \end{bmatrix} \).

Notazione per \( T(h) \) : \( df(x) \, dx \, F \).

Derivate di campi scalari

Sia F: A ∈ R^m → R^m x̄ ∈ Int(A), ∀v ∈ R^m \ {0}, si definisce derivata direzionale di F in x̄ lungo v il limite lim_t→0 (F(x̄+tv) - F(x̄)) / t.

In virtù dell'equivalenza tra limite globale e limite per componente, se F(x̄) = (F₁(x̄), F₂(x̄), ..., F_n(x̄)). Allora F derivabile lungo v in x̄ ⇔ F_i derivabile lungo v in x̄, ∀i = 1, ..., m.

Differenziabilità

Sia F: A ∈ R^m → R^m x̄ ∈ Int(A), diciamo che F è differenziabile in x̄ se esiste l'applicazione lineare T: Rⁿ → R^m tale che F(x̄ + h) - F(x̄) = T(h) + o(||h||), h → 0.

T: R^m → R^m ⇔ esiste B (matrice) m x n tale che T(h) = B · h.

Osserviamo che F è differenziabile in x̄ ⇔ tutte le componenti sono differenziabili.

Matrice Jacobiana

Def: Sia F differenziabile in x̄, allora si definisce matrice Jacobiana di F in x̄ J F(x̄)[ df₁(x̄) / dx₁ ... df₁(x̄) / dx_n ][ df_m(x̄) / dx₁ ... df_m(x̄) / dx_m ].

Notazione per T(h): dF(x̄) ⇔ d_xF.

Osservazioni

• La riga i-esima di JF(x) è ∇F_i(x).
• La colonna j-esima di JF(x) è dF_j(x), ovvero la derivata lineare lungo il vettore e_j della base canonica, cioè la derivata parziale rispetto a x_j.
• Per f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ^m di cui m=1, allora Jf(x)=∇f(x), d_x f(h)=∇f(x)h.
• Per f: A ⊆ ℝ → ℝⁿ Jf(x)='(x).

δ: I → ℝ^m è differenziabile in Ē ∈ ℝ^m I ⇔ δ(t)=(δ₁(t),..., δ_m(t)).

J δ(t)= (δ'₁(t)) = δ'(t) ̇x_m(t).

δ derivata in Ē ⇔ δ_i è derivabile in Ē ∀i=1...m. Allora posso scrivere la prima formula dell'incremento finito ∀i=1...m.

δ_i (Ē + h) - δ_i (Ē) = δ'_i (Ē) h + o (h), h→0.

(La differenziabilità e derivabilità coincidono).

I teoremi che valgono per le componenti si estendono ai campi vettoriali.

Esempio

f: ℝ³ → ℝ² f(x,y,z)= (x² y ^2+kmn x, e^{kmn 4 z}).

F₁(x,y,z)= x² y ^{4+ mn} (z x) F₂(x,y,z)= e^{kmn(x2 z}).

F₁, F₂ ∈ C¹ (ℝ³) ⇒ F è differenziabile in ogni punto (x,y,z) ∈ ℝ³ JF(x,y,z)= (∇F₁(x,y,z))=(2x 4 z cos(zx)) x² x cos(zx) (∇F₂(x,y,z))= (0 2 ( z cos(zx)) e^{kmn(x2 z})) z² x cos(zx) e^{kmn(x2 z}).

Derivata di un campo scalare lungo una curva

Teorema

Sia A aperto, f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ differenziabile in ̄x ∈ A . Sia I intervallo aperto e δ: I→ ℝ ^m una curva tale che δ(1) ∈ A. Supponiamo δ derivabile in Ē e x=δ(t) = ̄x . Allora la funzione composta = f ○ δ: I→ℝ è derivabile in I e note.

Dimostrazione

f è differenziabile per ipotesi in x̄: f(x̄+h) - f(x̄) = ∇f(x̄) + o(||h||), h→0.

Poniamo x = x̄+h quindi h = x-x̄.

L'uguaglianza precedente diventa f(x)-f(x̄) = ∇f(x̄) (x-x̄) + o (|| x-x̄ ||) per x→x̄. Posto g(x) = o (||x-x̄||) allora lim x→x̄ ^g(x)/_||x-x̄|| = 0 (1).

x = δ(t), per ipotesi δ(̄)_(t) = x̄.

Sostituendo in A e tendendo per t→t̄ lim t→t̄ ^{f(x(t))-f(x(t̄))}/_t-t̄ = ∇f(δ(t̄)) . ^{δ(t)-δ(t̄)}/_t-t̄ + ^f_t(x(t))/_t-t̄.

δ è derivabile in t̄ è continuo in t̄, quindi se t→t̄, allora δ(t)→δ(t̄)=x̄ lim t→t̄ ∇f ⟮x(t̄)⟯ .^{δ(t)-δ(t̄)}/_t-t̄ = ∇f(x(t̄)) . lim t→t̄ ^δ(t)-_t⟯/_t-t̄ = ∇f(x(t̄)) . δ' (t̄) lim t→t̄ ^f_t(x(t)) = lim t→t̄ ^{f_t(x(t))-f(x(t̄))}/_{||δ(t)-δ(t̄)||} . ^{||δ(t)-δ(t̄)||}/_t-t̄ [ ].

Componenti della norma || δ(t) - δ(t̄) || / t-t̄ = ||δ(t)-x(t̄)||/t-t̄ || x(t̄)|| per t→t̄ Ricorda: la norma è una funzione continua.

|^t-t̄/_t-t̄| = 1.

Dunque lim t→t̄ ^f_t(x(t))/_t-t̄ = 0 perché limite di un prodotto tra funzione infinitesima e funzione limitata.

Es

f(x,y,z)=x²+y²+z².

y(t)=(xmt,cost,e^t) t∈ℝ.

Primo modo

Sostituisco ... φ(t)=... e²=z φ'(t)=2e^t  fine.

Secondo modo

Uso il teorema. ∇ f(x,y,z)=(2x,2y,2z) y'(t)=(...) φ'(t)=(2xmt...)=2e^2t=2e^t.

Oss: A aperto ... &exists; y=... φ'(t)=...

Formula del gradiente che vale perché

Ortogonalità del gradiente agli insiemi di livello

Non ci limitiamo ...

Sia ...

Sia c∈ℝ...

Se ... ∇ f(x₀,y₀)... alle curve di livello ... alto.

Dimostrazione

∇f(x₀,y₀) ≠ (0,0) per ipotesi.

Per il teorema del Dumi (o della funzione implicita) esiste una curva γ : I → R², I aperto e x regolare tale che γ(I) ⊆ Σ_c con γ(t₀) = (x₀,y₀). Posto φ = f°γ ben definita in un intorno di t₀, per la derivata di un campo scalare lungo una curva: φ'(t) = ∇f(γ(t)). γ'(t).

Per t = t φ'(t₀) = ∇f(δ(t₀)) . δ'(t₀).

Poiché γ(I) ⊆ Σ_c , f(γ(t)) = c , ∀t ∈ I.

Quindi φ'(t) = _dc = 0. In particolare per t = t₀ (δ(t₀) = (x₀,y₀)).

∇f(x₀,y₀) . δ'(t₀) = 0.

δ(t₀) ≠ 0 ...

Il prodotto scalare è 0, dunque ∇f(x₀,y₀) . δ'(t₀) (vettore tg alla curva di livello Σ_c in (x₀,y₀)) ovvero ⟂ a Σ_c in (x₀,y₀).

Il fatto che punti verso la curva di livello ... è dovuto al fatto che ∇f(x₀,y₀) è il vettore di ...di f.

Legge di Fourier

(applicazione del teorema precedente)

{f(x,y)} temperatura nel punto (x,y)∈R² , k >0 costante di conducibilità termica.

e ⊆(ℝ²).

q(x,y) = -k ∇f(x,y).

Σ_c = { (x,y) | f(x,y)=c } isoterma.

vettore densità del flusso termico.

Per quanto detto sopra ∇f(x,y) ⟂ alle isoterme e punta verso le isoterme di livello c 'più' grande. Dunque il flusso termico q è ⟂ alle isoterme e punta verso isoterme di calore 'più' basse, in accordo con il secondo principio della termodinamica per cui il calore fluisce da punti di temperatura 'più' alta a.

Differenziabilità di funzioni composte di campi vettoriali

Teorema

Siano F: A ⊆ ℝ^m → ℝⁿ e G: B ⊆ ℝⁿ → ℝ^k. x̅ ∈ Int(A). Supponiamo che F sia differenziabile in x̅ e G differenziabile in F(x̅). Allora la funzione composta G ° F è differenziabile in x̅ e vale:

(1) J(G ° F)(x̅) = J(G(F(x̅))) · JF(x̅)_{k × m} prodotto matriciale_{k × n} ^{n × m}.

Oss.: Se f, g : ℝ → ℝ, f derivabile in x̅ e g derivabile in f(x̅). Allora (g ° f)'(x̅) = g'(f(x̅)) · f'(x̅) dall'analogo 1.

Caso particolare

Supponiamo k = 1 e x̅ : B ⊆ ℝⁿ → ℝ, B aperto, F: A ⊆ ℝ^m → B, con F aperto, F ∈ C¹(A) (F = (F₁, ..., F_m con F_i ∈ C¹(A) ∀i = 1, ..., m)). Per il teorema precedente x̅ ° F è differenziabile in ogni punto x̅ ∈ A. y̅₁ = F₁(x₁, ..., x_n) y̅ = F_m(x₁, ..., x_n) Sia h = x̅ ° F e f : A ⊆ ℝ^m → ℝ, un campo scalare h = x̅ ° F (x₁, ..., x_n) = (F₂(x_̅1, ..., x_n), ..., F_m(x_̅1...)), q̅ = F(x̅).

Per il teorema precedente h differenziabile in x̅ ∇h(x₁, ..., x_m) = ∇g(f(x̅₁, ..., F_m(x_̅m))) · JF(x̅).

JF(x̅) = d1F₁(x₁, ..., x_n) ... dmF₁(x₁, ..., x_n) ... d1F_m(x₁, ..., x_n) ... dmF_m(x₁, ..., x_n) ∇h()|_{= (}d_x₁h₁(x), ..., d_xₘhₘ(x)).

d_xᵢh_k(x) = ∇(F₁(₁,... ₙ), ..., Fₘ(x₁,... ₒ)) ⋅ (d_xᵢF(x)= d_uᵢ d_xᵢF(x) + ... + d_uₘd_xₘFₘ(x) ∀ = 1,... Chain Rule.

d_hk^dxᵢ = d^g_uⱼd_uᵢd_xᵢ + ... + d^z_uₘd_vₘd_xᵢ^Supponiamo k = 1, n≢= 1, : J→B , regolare. ℊ come sopra_i = _i()_ₘ = ₘ().

Chain Rule : d_hkd t = d_dᵢd_vᵢ d_uⱼ + ... + d_sg d_uⱼd_ₘ d_t = ∇⁰ ℊ(()) ⋅ ' ().

Derivata di un campo scalare lungo una curva.

Es

F: ℝ³ → ℝ² ² F (₁, ₂, ₃) = (₁ + ₂ ², ₃₂ ²) C¹ (ℝ³) e G: ℝ² → ℝ² ² dato = (₀, ₀) = (, u, _₁, ₀, u_₂) ( O )? ℭ ¹(ℝ² ') È ben definito la composizione ^° F: ℝ³ → ℝ².

G° F (₁, ₂, ₃) = (ℯx1, 23, (₁3ᵡ² , ₃4, ℯ) ( ° F | ( ₁, ₂, ₃. ) = (ℯx1, x³ z, ℯx, 23 + 2x23, 0 ) = ( 1 1-2 ² 03,