Derivate parziali

Derivate parziali

Definizione

Sia A ⊆ ℝ^m, x^* = (x₁^*, ..., x_m^*) ∈ A, f: A → ℝ, f è derivabile parzialmente rispetto alle variabili x_i in x^* se ∃ finito:

∂f(x^*)∂x_i = f_xi(x^*) = lim_h→0[f(x₁^*, ... , x_i-1^*, x_i^*+h, x_i+1^*, ..., x_m^*) - f(x^*)]/h

La funzione f_xi(x) è le derivate parziale prime rispetto a x_i.

k=m=2

∂f(x₁^*, x₂^*)∂x = f_x(x₁^*, y₂^*) = lim_h→0 [f(x₁^*+h, y₂^*) - f(x₁^*, y₂^*)]/h → rispetto a x

∂f(x₁^*, y₂^*)∂y = f_y(x₁^*, y₂^*) = lim_h→0 [f(x₁^*, y₂^*+h) - f(x₁^*, y₂^*)]/h → rispetto a y

f è derivabile in x^* se è derivabile parzialmente in x^* rispetto a ogni variabile.

f è derivabile in A se è derivabile in ogni punto di A.

C¹(A) l'insieme delle funzioni continue e derivabili in A con derivate parziali prime continue.

Esempio 1

f(x,y)=log(x²+y) + 1/2 e^xy,

f_x(x,y)=-1/(x²+y) (2x+0) + 1/2 e^xy

f_y(x,y)=1/(x²+y) (1+x) + 1/2 e^xx

D_f : x²+y>0 y>-x²

Derivate parziali

Definizione

Sia \(A \subseteq \mathbb{R}^m\), \(x^* = \left(x_1^*, x_2^*, \ldots, x_m^*\right) \in A\), \(f: A \to \mathbb{R}\), \(f\) è derivabile parzialmente rispetto alle variabile \(x_i\) in \(x^*\) se è finito:

\(\frac{\partial f(x^*)}{\partial x_i} = f'_{x_i} (x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{f\left(x_1^*, \ldots, x_i^* + h, \ldots, x_m^*\right) - f(x^*)}{h}\)

La funzione \(\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}\) è le derivate parziale prime rispetto a \(x\).

\(k=m=2\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) = f'_x(x^*, y^*) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h, y^*) - f(x^*, y^*)}{h}\) → rispetto a \(x\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}(x^*, y^*) = f'_y(x^*, y^*) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x^*, y^* + h) - f(x^*, y^*)}{h}\) → rispetto a \(y\)

\(f\) è derivabile in \(x^*\) se è derivabile parzialmente in \(x^*\) rispetto a ogni variabile.

\(f\) è derivabile in \(A\) se è derivabile in ogni punto di \(A\).

\(C^1 (A)\) è l'insieme delle funzioni continue e derivabile in \(A\) con derivate parziale prime continue.

Esempio 1

\(f(x,y) = \log \left(x^2+y\right) + \frac{1}{2} e^x y\),

\(f_x (x,y) = \frac{-1}{x^2+y} (2x+0) + \frac{1}{2} e^x\)

\(f_y (x,y) = \frac{1}{x^2+y} (0+1) + \frac{1}{2} e^x\)

\(Df: x^2+y > 0\)

\(y \geq -x^2\)

Esempio 2

f(x,y) = √(log(1 - x² - y²))

Df: { y > 0 1 - x² - y² > 0, x² + y²

∂f/∂x (x,y) = 1/(1 - x² - y²) (-2x) √y

∂f/∂y (x,y) = 1/(2√y) log(1 - x² - y²) + √y (1/1 - x² - y²)(-2y)

Esempio 3

f(x,y,z) = y sin(yz) - x cos(y²) + z² y tan x

Df: x ≠ ± π/2 + kπ, i ∈

∂f/∂x (x,y,z) = 0 - cos(y²) + z² y - 1/cos² x

∂f/∂y (x,y,z) = 2y sin(yz) + y² cos(yz)z + x2y sin(y²) + z² tan x

∂f/∂z (x,y,z) = y³ cos(yz) - 0 + 2y tan x z

Esempio 3

f(x,y) = { x²/x²+y se y ≠ ± x² 0 se y = -x²

• F cont. in (0,0)?
• F deriv. in (0,0)?
• F(0,0) = 0

se y = x + x², a ≠ -1

lim x²/(x² + ax²) = 1/1+a = 1 x→0 ≈ y/x = 1 → x/y = 1/x → lim non è cont. nell (0,0)

S_xf(0,0) = lim_h→0 f(h,0) - f(0,0) / h = lim_h→0 0 - 0 / h = lim_h→0 0 / h = 0

S_yf(0,0) = lim_h→0 f(0 + h,0) - f(0,0) / h - lim_h→0 0 / h = lim_h→0 0 / h = 0

Non è derivabile in (0,0)!

Esempio 6

f(x,y) = {1 xy≠0 , 0 xy=0

• A) Cont. in (0,0)?
• B) Deriv. in (0,0)?
• C) Se y=mx

lim_x→0 f(x,mx) = m≠0 => non è continua f(x,y)

lim_x→0 0 = 0

lim_x→0 1 = 1

D_f = ℝ²

a) S_x f(0,0) = lim_h→0 f(h,0) - f(0,0) / h = lim_h→0 0 - 0 / a = 0

S_y f(0,0) = lim_h→0 f(0,h) - f(0,0) / h = lim_h→0 0 - 0 / h = 0

Quindi f è derivabile nell’origine