Curve e superfici quadriche, affini e proiettive con immagini

Revisionato il 16/07/2026

di el_ces_94

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La geometria proiettiva, estensione della geometria affine. Il gruppo lineare proiettivo. Il principio di dualità. Cenni sulla teoria assiomatica degli spazi proiettivi. Polinomi …

Esame Geometria III

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Guerra Lucio

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2014-2015

78 pagine

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Estratto del documento

Parte affine e sottinsiemi nel piano e nello spazio

Equazioni nel piano

Nel piano, i suoi sottinsiemi sono descritti mediante equazioni lineari del tipo f(x, y, z) = 0, ovvero un'equazione cartesiana (polinomiale).

L'equazione parametrica è data da: (x, y) = (g(h, k), h, k, l).

In un dato intervallo, si definisce curva e linea curva poiché il vettore è una curva nel piano. Quindi coda naturalmente.

Equazioni nello spazio tridimensionale

Nello spazio tridimensionale, i suoi sottinsiemi sono descritti da f(x, y, z, t) = 0 come equazione cartesiana.

L'equazione parametrica è: (x, y, z) = (g(h, k, l), h, k, l). Il concetto di W(LWLW) è applicato al tris(panta) dello spazio di uso, eventualmente lineare.

Spazio affine numerico e polinomi

Lo spazio affine numerico con coordinate affini è espresso con il polinomio come origine R(K).

R(K) rappresenta lo spazio affine numerico con coordinate affini (x_m...x_n).

P(X₁,...X_n) appartiene a R.

Zero a f(radice su una variabile)V(B) rappresenta l'insieme degli elementi f(X₁,...X_n)=f si dice luogo degli zeri o fPolinomi Quadrici.

Descrizione delle equazioni nel piano e nello spazio

Nel piano, i suoi sottinsiemi sono descritti mediante equazioni lineari del tipo: f(x, y) = 0, ossia f(x, y) è un polinomio, per esempio un'equazione cartesiana (polynomial).

Le equazioni e le coordinate dei punti che soddisfano le condizioni sono date da: (x, y) = f(g(h, i), h, i), equazione parametrica al variare che fornisce un punto che passa dell'insieme descritto con curva.

La retta rappresenta l'intersezione di due superfici curva e linea curva poiché il suo equivalente è una linea nel piano quando sono naturalmente una retta.

Equazioni nello spazio tridimensionale

Nello spazio in dimensione, i suoi sottinsiemi sono descritti tramite: f(x, y, z) = 0 equazione cartesiana.

L'equazione parametrica è: (x, y, z) = f(g(h, i), h(u, v), K(u, v)).

Nel disegno, lo spazio si definisce superficie o superficie curva poiché l'immagine del piano è coincidente, quando crea uno spaccato di curvatura omogenea (qualsiasi tra una linea o curva per il suo inverso).

Polinomi omogenei e luogo degli zeri

P_c ogni polinomio ammette soluzioni parametriche? In caso quanti parametri sono necessari? Come descrivo in base a un insieme di curve questi subdomini?

DEΓm(n, K) è lo spazio affine numerico con coordinate affini (x₁, ..., x_m) se K[x₁, x_m] è un polinomio e si può vedere come applicare:

(i) a^x(k) = K
(ii) contestualmente corrispondente numeri naturali

P+ → f(P)η, b, γ lineare si distingue quantomeno diluori al comunpolinomio assoluto un'azione usando assoluti (sarà mobili).

Grado dei polinomi e loro proprietà

P(x₁, x_m) ∈ m(K)

1. f/ ∑ (j)₁ f(x₁, x_m) = 0 si dice zero a g(radice x, su una variabile).

V(β) ::= Paff(K) : ß²(x₁, x_m) = 0 si dice luogo degli zeri a gβ = 0 ⇒ V(β) = m(K)

Osservazioni sui polinomi omogenei

Dato un luogo degli zeri polinomio a cui si riferisce non è univocamente determinato, quali cose vi osservano tutti?

Se β è un polinomio omogeneo (tutti i monomi dello stesso grado) ⇒ ∃t x₁, … t x_m di grado d.

Dimostrazione di polinomi omogenei

β = ∑ c_i₁…iₘ x₁^i₁ … x_m^iₘu₁ + t_im = d ∀i (β omogeneo grado d).

β(tx₁, … t x_m) == ∑ c_i₁…iₘ tx₁^i₁ … tx_m^iₘ == t^d ∑ c_i₁…iₘ x₁^i₁ … x_m^iₘ = t^d β( x₁, … x_m).

Cono e sue proprietà

Oss β polinomio omogeneo di grado d β(x₁,…,x_m) = 0 ⇒ β(tx₁,…,tx_m) = 0 ∀t.

PEV(β) = ⟨0,P⟩ ⊆ V(β).

V(β) è un cono con vertice nell'origine.

Esempi di polinomi

x²+y²−z²=0 in ³(K) è omogeneo di grado 2.

Definizioni di spazi affini

^m(K) è lo spazio affine. V∈^m(K) è un punto.

C ⊆ ^m(K) è contenuto.

C si dice cono di vertice V se e solo se V∈⟨C⟩.

Dimostrazione del cono

Dimostrazione: V∈ ⊆ C

Oss C = ∅

Quando V non appartiene a C, C ∖ {V} sono coni.

C \ {V} ≠ ∅ ⇒ {e ∈ C |⋄ l’unione di rette passanti per V}

Un insieme può essere un cono rispetto a più vertici (la retta è).

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