Costruzione di macchine - Appunti

Costruzione di macchine

Mentre la rottura statica è preceduta quasi sempre da uno snervamento, la rottura per fatica dei materiali non dà nessun segno premonitore. Essa avviene per innesco di una cricca che pian piano si propaga fino al cedimento per schianto.

Progetto di un componente

Progetto di un componente

Verifica (di un componente già esistente)

Dimensionamento (di un componente da creare da zero)

Calcolo statico

Calcolo a fatica

Considero l’insieme di forze massime che possono verificarsi su un componente. Si verifica e confronta con le tensioni massime sopportabili dal materiale con un certo CS.

Considerando le forze che agiscono mediamente sempre su un componente. In questo caso posso avere un coefficiente di sicurezza anche pari a uno.

Curva di trazione

Curva di Wohler

No

Si

Ok

Verifica (di un componente già esistente)

Forze di lavoro statiche e a fatica

Dimensioni del componente

Dati del materiale

No

Si

Ok

Dimensionamento (di un componente già esistente)

Forze di lavoro statiche e a fatica

Dati del materiale

Condizioni dimensioni d’ingombro del componente

No

Si

Ok

Verifica statica

Curva per acciai da carpenteria

Curva per acciai meccanici

=40%

=1200 MPa

=300-400 MPa

I coefficienti di sicurezza assumono per normativa i seguenti valori:

R Rσ = = S Sm =m 1,5=> dove σS amm Smamm SR R= σ =m =m 3=> dove σR amm R Sm Ramm R

Calcolo a fatica

σ tot Le prove standardizzate σ si fanno a flessione a rotante, ottenendo la tensione media pari a zero.

σ σ σ max m min t

Curva di Wohler

Curva di Wohler – ha senso in seguito a quanto detto chiedersi quanti cicli di fatica è in grado σ σ di durare un materiale con un certo valore di tensione alterna (tenendo costante la σ) a m

σ La curva corrisponde aa I II III quella per acciai nobili, con σ σ = −R tenore di carbonio piuttosto a m mR alto. Alla tensione media fissata, per un valore di σ = kcost tensione alterna pari a il m σ provino ha una durata di cicli. a i

Esiste un valore di tensione σ alterna al di sotto della quale la durata del provino A è illimitata (la curva è piatta), compreso tra e che vale:

N N 6 7 10 10

• I – Fatica oligociclica
• II – Fatica a durata limitata per cui vale costa
• III – Fatica a vita illimitata sotto il valore A

σ k =N

σ σ k = + =k log log Nlog N cost => cost è l’equazione di una retta pertanto: aa

σ a Rσ

In scala non logaritmica a la curva risulta molto R s schiacciata, ragione per cui la curva naturale è scomoda da utilizzare.

N N ⋅ ⋅ ⋅ 3 6 6 6 10 2 10 2 10 10 10

Probabilità della curva di Wohler

σ a i σ Si sceglie un valore di e si effettuano varie prove, si ottiene un campo di valori di durate per i a i quali si è ottenuta la rottura. Una media di questi valori mi dà indicativamente il valore di durata a quel particolare valore di tensione media. A mano a mano che si abbassa la tensione media cominciano a comparire casi in cui il provino non si rompe. La curva in basso rappresenta l’insieme dei punti in cui si ha la probabilità del 100% che il provino non si rompe. La curva più in alto rappresenta la certezza di rottura del provino. Esistono dunque curve di Wohler per valori di probabilità diversi, la scelta della curva dipende da quanto il progettista vuole stare in sicurezza, se la probabilità non è specificata in genere si suppone pari al 50%.

Nel caso della verifica a fatica posso anche assumere un coefficiente di sicurezza pari a 1, questo perché se anche superassi la tensione alterna prevista togliere cicli di vita al provino, certamente, ma non provocherei comunque la rottura.

σ a Come si vede dal diagramma indicato, se la cresce la curva di Wohler tende ad abbassarsi. Per fare una curva di Wohler con una certa tensione media possono essere richiesti dai 15-20 giorni. Esistono pertanto delle tabelle alle quali il progettista può rifarsi perché sarebbe impensabile generarsi delle curve di Wohler per il materiale che dobbiamo usare nel progetto.

N

Diagramma di Smith-Goodman

σ σ σ σ ,, La parte a compressione è max min max min Per disegnare la curva a più grande di quella a segmenti occorrono e. trazione, questo perché a compressione i materiali resistono di più, pertanto in genere si verifica sempre a trazione sapendo che è così verificata anche la R R compressione.

σ sσ +max A σ σ − AA σ 0 σ σ m σ − AA 1° ° 04545 min σ σ σ R Rm m s mσ

Si può ricavare un diagramma di Smith e Goodman per ogni durata, basta che anziché usare la A σ per vita illimitata si usi la corrispondente alla durata richiesta, il diagramma si restringe a σ ovviamente andando verso la vita infinta (ovvero verso la .) A

Legge di Miner

n∑ =i 1

Quando il provino si rompe.

N i∑=N ntot i

costkσ =Na iiσ

n kσn ∑∑ a i kσ ==>i n c=σ i a i 1 i a ica eq Esiste (ricavata nel diagramma a sx) una tensione equivalente, cioè una tensione che corrisponde al N numero di cicli per cui si può scrivere:

totkσ =N cN tot a eqtot ∑ ∑k kσ σn n∑ k kσ σ= k i a i aσ = =i in N => ∑i a tot a ai eq eq N ntot i∑ ∑ ∑∑ kσ n N p pnc = = =i tot i ikσ = = i a N c c ci => ∑ ∑ ∑∑ tot k k kσ σ σ;a eq n N p pN n i a tot i a i atot i i i

Non tutti i livelli sono al di sopra del limite di fatica illimitata, pertanto considero nella verifica solo le sollecitazioni che stanno sopra (*):

ni∑ *p ∑ ∑ ∑n N p p* i=N c * * *i tot i i= = =N N N N=>∑ ∑ ∑ ∑tot tot tot tottot * * ** kσ n N p pp i tot i ii a* i∑ ∑ ∑*p p p 1i i i= = =N c c c∑ ∑ ∑∑tot * * k * k * kσ σ σ;p p pp i a* i a* i a *i i ii

Spettro o cumulata di carico

σ a

500 10%

400 20%

300 40%

200 20%

100 10%

Spettro di carico - descrive la vita del provino (ad esempio per il 40% della sua vita il provino è sollecitato con una tensione compresa tra i 200-300 MPa).

Cumulata di carico - a differenza dello spettro i blocchi di carico vengono cumulati fino a giungere al 100% di vita del provino. Posso per ogni blocco assumere il valore massimo di tensione oppure il valore minimo per essere cautelativo, oppure un valore medio. È possibile dalla cumulata discreta passare a quella continua interpolando i dati, ovviamente posso scegliere una curva più o meno cautelativa. Dalla cumulata continua si può risalire a quella a gradino.

Fatica random

Metodo dei massimi e minimi

La tensione media è una sola e vale σ. Dobbiamo calcolare le varie tensioni alterne.

σ 2 Prendiamo di volta in volta il picco a 42 maggiore e il picco minore (i primi 6 saranno 1 e 2) e ne ricaviamo una 8 tensione alterna media:

σ m 7 La coppia di picchi successivi saranno 5 σ 3 e 4, pertanto: 3a 1 1

Ognuna di queste condizioni di carico la considero come un ciclo, alla fine avrò una storia di carico composta da n cicli.

Si può anche scegliere di prendere solo i massimi (cioè tutti i picchi che stanno sopra la tensione media), poiché se sono verificati quelli sono verificati tutti i minimi.

Metodo delle tre alternanze

Divido la storia casuale di carico in piccole σ storie, ognuna delle quali interseca la Pmax 1 tensione media per tre volte e di cui posso ricavare una tensione massima e una minima:

σ Ognuna di queste condizioni perdo rispetto al m metodo dei massimi dei minimi, alcuni σ massimi e alcuni minimi più piccoli non min 1 vengono considerati (es il max P). 1

Metodo biparametrico

σ+ a 1 Questa volta non suppongo una tensione media costante per tutti i cicli ma faccio variare anche quella. Pertanto per ogni ciclo σ in divido un massimo e un minimo da cui:

m 1 ; σ− a 1

Raggruppo i cicli così ottenuti in base alla tensione media (ad esempio avrò che il 20% dei cicli avrà una tensione media compresa tra 500 e i 400 MPa e così via). Per ogni gruppo ricavo la curva di Wohler corrispondente (cioè con quella tensione media). All’interno di ogni gruppo dovrò poi ancora raggruppare rispetto alla tensione alterna per avere infine gli spettri di carico.

Fatica del materiale e fatica del componente

σ La curva di Wohler del materiale è indicativa del solo comportamento del materiale. Ci sono però kσ =N c una serie di fattori che fanno differenziare la a curva del componente da quella del materiale che, kσ =N c presa così è praticamente inutile. ca c

Il non cambia molto per numero di cicli basso.

La curva di Wholer del materiale avrà parametri:

Materiale σ k =N ca

Componente

La curva di Wohler del componente avrà invece:

σ k =N cca c

N

Cerchiamo ora di ricavare la curva di fatica del componente.

Cominciamo dal fatto che esiste una relazione tra la forza e la tensione del tipo generale:

βσ = ⋅F ga β

Dove è un esponente che generalmente vale 1 (il rapporto tra tensione forza è in genere g proporzionale ma ad esempio nei cuscinetti non è così) e è un parametro geometrico che generalmente è pari all’inverso della sezione su cui calcolo la tensione.

Possiamo inoltre ricavare una relazione diretta tra il numero di cicli fatti dal provino e il numero N di iterazioni specifiche che il componente fa nel suo esercizio (ad esempio il numero di pezzi L prodotti se si tratta di un tornio o il numero di chilometri percorsi se si tratta di un automezzo):

= ⋅N D L

Sostituendo queste relazioni nella curva di Wohler del componente è possibile ottenere la curva di fatica del componente:

γ β= ⋅ k cβ ⋅ β⋅ ⋅ ⋅ =kF g D L c γ c⋅ ==> doveF L Wc =c cW ⋅kg Dc

Anche per la curva di fatica del componente vale la legge di Miner per cui abbiamo:

γl Fl∑ ∑γ ⋅ ==1i =F L W i a i 1; =>L a ii Wi ∑ ∑γ γl F l F∑ γ γ γ= = = =i a i al F W F L i iF=> => ∑i a a tot ai eq eq L ltot i∑ ∑∑ γ l pl F = =i i=i a L W Wi L W => ∑ ∑∑ γ γtottot l F p Fl i a i ai i i

Generalmente noi, se siamo fortunati, disponiamo della curva di Wohler del materiale, che purtroppo non ci serve a nulla. Per ottenere la curva di fatica del componente si potrebbe fare delle prove (che richiedono provini e tempo), altrimenti si risale alla curva di fatica del componente tramite coefficienti correttivi:

⋅ ⋅c c cσ σcomp mat= 1 2 3a a k f

Fattori che influenzano la fatica di un componente

• Materiale carico di rottura – In genere se è alto la curva di Wohler si alza (la resistenza a fatica aumenta).
• Trattamento superficiale –

• Meccanico Rullatura - Bombardo il provino con sfere d’acciaio dure, la compressione superficiale che si crea arresta le cricche.
• Pallinatura – Si esegue uno schiacciamento della superficie, in genere si pratica su gole di scarico.
• Termico Tempra – Sottopongo il materiale ad alte temperature a poi raffreddo rapidamente. I grani risultano pensionati e conferiscono resistenza meccanica (aumenta il carico di rottura).
• Cementazione e nitrurazione – Arricchisco di carbonio la superficie del pezzo immergendolo in un bagno, ottengo durezza superficiale maggiore.
• Elettrochimico In genere si depositano elettrochimicamente (cella galvanica) strati di materiali che fungono da protezione.

• Lavorazioni pregresse – Fattore che dipende da come è stato ottenuto il pezzo, ad esempio la fusione è diversa dalla laminazione perché nel secondo caso nascono tensioni interne di compressione che aumentano la resistenza meccanica.
• Tipo di carico forma del diagramma di carico – (È un fattore che non ha influenza).
• Tensione media – È un fattore fondamentale perché se la tensione media cresce la curva di Wohler si abbassa.
• Tensione alterna – Anche questa è fondamentale, basti guardare il funzionamento principale della curva di Wohler.
• Frequenza – (È un fattore che non ha influenza), in genere è importante conoscere il tipo di carico e non con che tempi viene esercitato.
• Il tipo di sollecitazione – Il materiale resiste meglio a flessione, peggio a trazione e peggio ancora a torsione.

σ σ,max min Perché correggo a torsione:

1 Cioè la tensione equivalente dovuta alla torsione è più 0,84 grande del 70% rispetto a 1 quella a flessione. Pertanto:

0,520,70,6 σ m

Flessione

Trazione

Torsione

Perché correggo a trazione:

La cricca parte dalla superficie poi procede verso l’interno. Nel caso della flessione però a mano a mano che procede incontra tensioni sempre minori, dunque si può dire che il provino resiste di più a flessione.

• Ambiente esterno Temperatura – Il calore riduce il carico di rottura e anche la resistenza a fatica. Certamente però i rischi maggiori si hanno per basse temperature. Per acciai da costruzione (ferracci con basse %C) la resilienza crolla sotto i 10°C, un materiale a basse temperature infragilisce e le cricche si propagano con maggiore facilità. Generalmente questo fattore è molto pericoloso se combinato con la presenza di saldature o intagli.
• Ambiente corrosivo – I danni superficiali dovuti alla corrosione sono gravi perché è proprio in superficie che si innesca la cricca.
• Geometria Macro – In genere il provino usato per le prove di trazione ha diametro di 10 mm, spesso i componenti hanno diametri maggiori e bisogna quindi tenere conto del fatto che in genere, aumentando il diametro la resistenza a fatica peggiora.
• Macro/micro – Sono caratteristiche molto piccole ma non ancora microscopiche e riguardano gli intagli. Gli intagli sono elementi di discontinuità che interrompono l’omogeneità di una superficie (gole di

Definiamo fattore di forma:

σ σ id re

Esso può tendere ad infinito perché se

Definiamo fattore di effetto d’intaglio:

Con intaglio

Senza intaglio

Che non tende ad infinito ma è compreso nel seguente intervallo:

scarico). In prossimità di questi intagli le tensioni hanno andamenti reali ben diversi da quelli ideali:

• Micro – Parliamo di finitura superficiale (rugosità).

Esempio di fatica del componente – Cuscinetti

∑ γl Fγ = i a iF

Avevamo ricavato per un componente qualsiasi la formula:

∑a eq li

∑ γl Pγ = i iP

Adesso la applichiamo ai cuscinetti:

∑eq li

v t p

Per i cuscinetti abbiamo le velocità d’esercizio e i tempi (percentuali del tempo i i i totale) da cui si ottiene il numero di iterazioni:

=l t vi i i =l v p T=> i i i tot=t p Ti i tot

∑ ∑γ γT v p P v p Pγ = =tot i i i i i iP ∑ ∑eq T v p v ptot i i i i

p vα = i i

Sapendo che ogni percentuale di storia di carico è si può scrivere:

∑i p vi i

γ = 3∑γ γ ∑α= γαP P γ==> doveP P γ =eq i i 10 / 3eq i i

Ruote dentate

es π2 Rp+ = π=s e p = =zm; ; dove 3,1416π p

Il profilo del dente (escludendo lo smusso in punto e il raggio di raccordo alla base) è ad evolvente di cerchio. Il pr