Corso di Analisi 1

Analisi logica matematica

La matematica non è una scienza sperimentale.

A differenza dalle altre scienze, dunque, si basa su un concetto diverso di verità.

In matematica occorre dimostrare le proposizioni.

Dimostrare significa eseguire un ragionamento logico-deduttivo partendo da alcune premesse dette ipotesi parto a alle conclusioni dette tesi.

rog.

Ipotesi tesi
logor deduttivo

La logica matematica studia le regole di tale ragionamento.

Occorre però adottare un linguaggio univoco che non dia adito ad interpretazioni ambigue.

Es: "Per due punti di un piano possiamo condurre una retta."

• Un ➡ Un arbitrario
• Una ➡ Almeno una (I punti possono coincidere.)
• ➡ Esattamente una (Se i punti sono distinti.)

Possiamo condurre insinua che è possibile avere due più non decolo.

Si formulino dunque le proposizioni invararoli matemate.

"Per ogni plous setto arbitrariamente + per ogni coppia di punti appartmenti al plous esiste almeno una retta che li ei commune"

Euclides Taylor Ceveu Porto

Analisi logica matematica

La matematica non è una scienza sperimentale

A differenza dalle altre scienze, dunque, si basa su un concetto diverso di verità

In matematica occorre dimostrare le proposizioni.

Dimostrare significa eseguire un ragionamento logico-deduttivo che partendo da una premessa atte ipotesi porta a una conclusioni atte tesi.

log.

Ipotesi tesi
rag. deduttivo

La logica matematica studia a scopo di tali ragionamento.

Occorre però adottare un linguaggio univoco e un modo adatto ad interpretazioni ambigue.

Es. "Per due punti di un piano possiamo condurre una retta."

• Un → Un arbitrario
• Una → Almeno una (I punti possono coincidere)
• → Esattamente una (Se i punti sono distinti)

Possiamo condurre implica che è possibile avere di più ma alcuna.

Sì formulano dunque le proposizioni introdussi matematica:

"Per ogni piano selle arbitrariamente - per ogni coppia di punti appartenente al piano esiste almeno una retta che li ciomune."

Tettasi Taylor - Coerino Polite.

Le proposizioni (o enunciati)

Nel linguaggio sono frasi che esprimono determinate regole.

In matematica sono affermazioni a cui si può attribuire un grado di verità, ossia di cui si può decidere se sono vere o false.

N.B. L'ultimo teorema di Fermat afferma che 7 p,q,r ∈ Z t.c. p^m+q^m ≠ r^m & m > 3.

Può rimanere indimostrato per secoli, ciò non significa che non sia un teorema.

È comunque un'affermazione vera o falsa.

Esempi

• 1 + 1 = 2 proposizione vera
• 7 è un numero reale proposizione vera
• 1 + 1 = 3 proposizione falsa
• 1 + 1 - non è una proposizione, sintatticamente scorretta
• π è un numero simpatico non è una proposizione, non dimostrabile

Operazioni tra proposizioni

Indichiamo con p, q, r le proposizioni.

Negazione ()

¬p si legge "non p". È un'operazione unaria ovvero agisce su una proposizione.

• Se p vera → ¬p falsa
• Se p falsa → ¬p vera

Altra notazione nei suoi primordi ¬p o ẗ.

Congiunzione ()

p & q si legge "p e q". È un'operazione binaria ovvero agisce su due proposizioni.

p & q è vera solo se tutt'e due p e q sono vere. Falsa in tutti gli altri casi.

Disgiunzione ()

p ∨ q si legge "p o q". È un'operazione binaria.

p ∨ q è vera se almeno una delle due proposizioni è vera, falsa se p e q sono entrambe false.

Esempi

p: 1+1=2
q: 1+1=3

¬p → ¬(1+1=2) → 1+1 ≠ 2 da V→F

¬q → ¬(1+1=3) → 1+1 ≠ 3 da F→V

p & q → (1+1=2) & (1+1=3) F 1+1 non può fare contemporaneamente 2 e 3.

p ∨ q → (1+1=2) ∨ (1+1=3) V uno delle due è vero.

Implicazione (=>)

È un'operazione binaria

p => q si legge "p implica q"
"se p allora q"
"p è condizione sufficiente per q"
"q è condizione necessaria per p"

Es. p: "lo studente Piero punta 24 all'esame di analisi"
q: "lo studente supera l'esame di analisi"

p => q

se p ∨ _A q √p => q è V

se p ∨ _F q F
p => q è F

* se p _F
p => q è V

Introduciamo dunque le tavole della verità