Circuiti - introduzione

Circuiti contenenti bipoli dinamici

Cosa accade quando in un circuito apriamo o chiudiamo un interruttore?

Corrente e tensione variano, ma come?

t = t i(t)0 i(t)R R)+E/(R+ Si iRE t t0

Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno
Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005

Nel caso siano presenti solo generatori e resistori, a causa della “staticità” della caratteristica, tensioni e correnti passano dal valore assunto prima dell’intervento dell’interruttore a quello successivo in maniera “istantanea”.

t = t i(t)0 i(t)R R)+E/(R+ Si iRE t t0

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Esiste una differenza fondamentale rispetto al caso di circuiti contenenti soli bipoli statici quando nel circuito esistono anche bipoli dinamici (condensatore o induttore).

t = t0 Per tali circuiti sarà in i(t) generale necessario R S+ i risolvere sistemi di E Cv (t)C equazioni algebrico-differenziali.

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Le equazioni algebriche discendono dalle LKC, LKT e dalle caratteristiche dei bipoli statici, mentre i bipoli dinamici introducono relazioni differenziali. Le tensioni e correnti t = t0 passano dal valore assunto i(t)R S prima dell’intervento + i dell’interruttore a quello E Cv (t)C successivo in un intervallo di tempo, detto transitorio.

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Transitori del primo ordine

Il transitorio dipende dai valori dei parametri (resistenze, capacità, induttanze) del circuito.

i(t)t = t0 i(t)R S+ iE Cv (t)C t t0

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Proprietà di continuità (della tensione)

1V v(t) C=1Fi(t)1A0 21 3 t(s)i(t) v(t)-1A

In un condensatore LTI la tensione risulta continua anche se la corrente è discontinua.

Questa proprietà può essere convenientemente adoperata per calcolare la soluzione di circuiti contenenti bipoli dinamici.

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Scarica di un condensatore

Consideriamo il caso di un condensatore C carico in cui l’intervento ad una tensione V0 dell’interruttore S all’istante t=0 determina un transitorio. Il circuito si dice autonomo in quanto non sono presenti generatori. Soluzione per t>0: Soluzione per t<0: t=0 = − += 0 Ri (t ) v (t )i ( t ) 0 Ci(t)S=v ( t ) V dv= −RC 0 CC ( )i t Cv (t)C dt

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dv 1+ =C v ( t ) 0Per t>0 si ottiene: Cdt RC

Si tratta di una equazione differenziale di primo grado lineare a coefficienti costanti.

Per ottenere la soluzione occorre (problema alla Cauchy) conoscere una condizione iniziale: si può allora sfruttare il fatto che la tensione sul condensatore è continua nell’intorno dell’istante 0.

dv 1+ =C v ( t ) 0Cdt RC=v ( 0 ) VC 0

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