Circuiti dinamici

Analisi di circuiti in condizioni dinamiche

Nel modulo ELTI abbiamo esaminato il problema dell’analisi di circuiti contenenti un bipolo dinamico (induttore o condensatore lineare tempo invariante). Tali circuiti vengono detti del primo ordine in quanto contengono un solo bipolo dinamico.

t = t t = t₀ 0
i(t) i(t)
R R_S S
+ +
E E_Cv (t) L_v (t)
C L

Nel caso il circuito non contenga generatori esso viene detto “autonomo”, altrimenti si dice “non autonomo”.

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Per tali circuiti sarà in generale necessario risolvere sistemi di equazioni algebrico-differenziali:

• Le equazioni algebriche discendono dalle LKC, LKT e dalle caratteristiche dei bipoli statici;
• Le equazioni differenziali sono invece dovute alle caratteristiche dei bipoli dinamici.

La soluzione si ottiene ricavando una equazione differenziale di primo grado, detta equazione risolvente, la quale può essere convenientemente espressa in termini di una variabile di stato (corrente nell’induttore o tensione sul condensatore).

Nelle ipotesi di linearità dei bipoli, l’equazione risolvente risulta lineare a coefficienti costanti: la sua soluzione richiede che si conosca (problema di Cauchy) una condizione (iniziale) sulla variabile in esame.

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Nel caso di un condensatore C inizialmente scarico

t=0 t>0
i(t) i(t)
R S R
+ + E E_Cv (t) C_v (t)
C C

La soluzione per t>0 si ottiene
i(t)=0

Soluzione per t<0: risolvendo il seguente sistema di equazioni algebrico-differenziale
=i ( t ) 0 = +E Ri (t ) v (t )= C_v ( t ) 0
C dv
= C( )i t C dt

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t>0 Sostituendo la caratteristica del condensatore nella LKT si ottiene:
i(t)R+ dvE = +C_v (t) C v (t )E RCC Cdt

Dividendo per RC si ricava l’equazione risolvente (lineare a coefficienti costanti):
( )dv v tE = +C CRC dt RC

Affinché essa ammetta soluzione unica, occorre (problema di Cauchy) precisare la condizione iniziale sulla variabile.

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Tale condizione iniziale può essere imposta sulla base della conoscenza della tensione sul condensatore che si manterrà continua nell’intorno dell’istante in cui avviene l’intervento dell’interruttore.

t>0 dv v (t )E = +i(t) C CR RC
+ RC dt RCE C_v (t) = =C v (t ) v (t ) 0−= = +C Ct 0 t 0

La soluzione è somma di due termini:
= +v ( t ) v ( t ) v ( t )C Ct Cp

• Il primo è l’integrale generale della equazione differenziale omogenea, ottenuta, cioè, annullando il termine noto;
• Il secondo è il cosiddetto integrale particolare.

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Per determinare la condizione iniziale si sfrutta la “continuità” delle variabili di stato. Questa proprietà può essere dimostrata formalmente.

i(t) v(t)
1V v(t)
1A
0 2 3 t(s)
1 i(t)
-1A t
dv 1 τ τ∫= = +C v ( t ) v ( t ) i( )di C C C 0dt C t0

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Proprietà di continuità delle variabili di stato

Condensatore

Se in un condensatore lineare tempo invariante la corrente rimane limitata in c_t t,[ ] la tensione risulta continua nell’intervallo aperto un intervallo chiuso a b ∈t t t t, ,t] [ ] [. In particolare, per ogni istante si ha:
a b a b
0− = +v ( t ) v ( t )C 0 C 0 v

Induttore

Se in un induttore lineare tempo invariante la tensione rimane limitata L_t t,[ ] la corrente risulta continua nell’intervallo in un intervallo chiuso a b ∈t t t t, ,t] [ ] [ aperto . In particolare, per ogni istante si ha:
a b a b
0− = +i ( t ) i ( t )L 0 L 0

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E’ sufficiente dimostrare tale proprietà per un solo bipolo dinamico, ad esempio il condensatore. ∆ ⊂t t t t t] , [ [ , ]+ può

La caratteristica del condensatore nell’intervallo 0 0 a b essere scritta come: + ∆t t01 ∫ τ τ+ ∆ − =v ( t t ) v ( t ) i ( )di C C C0 0C C t 0

Per ipotesi la corrente nel condensatore è t t[ , ]limitata nell’intervallo :a b [ ]+∃ ∈ℜ < ∀ ∈∆ M : i (t ) M t t , tt C a bt t tt 0 ba

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L’area sottesa dalla curva che rappresenta la legge oraria della corrente (ovvero la carica trasferita su una armatura del condensatore) nell’intervallo ∆t risulta : + ∆t t0 →∫ τ τ ≤ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ∆i ( )d M t M t 0C ∆ →t 0t 0

Si avrà dunque: →+ ∆ + ⇒ + − →v (t t ) v (t dt ) v (t dt ) v (t ) 0C 0 C 0 C 0 C 0∆ →t 0

Ovvero: + → e quindi la tensione sul condensatore risulta v (t dt ) v (t )C 0 C 0 t . continua in 0

La proprietà di continuità non vale se la corrente è illimitata.

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