Circuiti Integratori

kykko_90
di kykko_90
4 min
Sapiens
Vota 3/5
Appunto verificato
Contenuto verificato e approvato dal  Team di Esperti di Skuola.net Informazioni appunto verificato Informazioni appunto verificato hover

I circuiti integratori sono fondamentali per l'elaborazione dei segnali elettrici. Scopri le configurazioni invertente e non invertente, il loro funzionamento, le relazioni tra tensioni e correnti, e le applicazioni pratiche in elettronica.

Concetti Chiave

  • Il circuito integratore nella configurazione invertente trasforma il segnale di ingresso in un'uscita che rappresenta l'integrale del segnale nel tempo.
  • Nella configurazione invertente, la tensione di uscita è in anticipo di 90° rispetto al segnale di ingresso e la sua ampiezza aumenta al diminuire della frequenza di ingresso.
  • Il circuito integratore non invertente utilizza un metodo diverso per calcolare l'uscita, con una combinazione di resistenze e un condensatore che produce sia una reazione negativa che positiva.
  • In questa configurazione, l'uscita è in ritardo di 90° rispetto al segnale di ingresso, con un aumento dell'ampiezza al diminuire della frequenza, simile alla configurazione invertente.
  • Entrambe le configurazioni di circuito integratore mostrano una relazione diretta tra la tensione di uscita e l'integrale del segnale di ingresso, ma differiscono nel comportamento di fase.
Circuiti Integratori

Lo schema sovrastante mostra un circuito integratore nella configurazione invertente. Si utilizza per le operazioni di integrazione.
Qui sotto è riportato l'andamento delle forme d'onda che escono dall'integratore.

integratore

Se dobbiamo ricavare

[math]v_o\left(t\right)[/math]
in funzione di
[math]v_i\left(t\right)[/math]
si applica il principio della massa virtuale, quindi la corrente erogata dal generatore
[math]v_i\left(t\right)[/math]
vale:

[math]i=\frac{v_i\left(t\right)}{R}[/math]

e coincide con la corrente che attraversa il condensatore.
La tensione ai capi del condensatore invece vale:

[math]v_c\left(t\right)=\frac{q\left(t\right)}{C}=\frac{1}{c}\int_{0}^{t}i_c\left(t\right) dt=\frac{1}{C}\int_{0}^{t}\frac{v_i\left(t\right)}{R} dt=\frac{1}{R \cdot C}\int_{0}^{t}v_i\left(t\right)dt[/math]

ma

[math]v_c\left(t\right)=v_n-v_0\left(t\right)=-v_0\left(t\right)[/math]

per cui otteniamo che:

[math]v_0\left(t\right)=-\frac{1}{R\cdot C} \int_{0}^{t}v_i\left(t\right)dt[/math]

adoperando la trasformata di Laplace e subito dopo l'anti-trasformata otteniamo:

[math]V_0\left(j\omega \right)=-\frac{1}{j \omega RC}\cdot V_i=j\cdot \frac{V_i}{\omega RC}[/math]

Da quest'ultima formula possiamo notare che

[math]V_0[/math]
è in anticipo di
[math]90^\circ[/math]
rispetto a
[math]V_i[/math]
e che a parità di
[math]R[/math]
e di
[math]C[/math]
, l'ampiezza della tensione di uscita aumenta al diminuire della frequenza di ingresso
[math]\omega[/math]
.

Andiamo adesso ad analizzare il circuito di un integratore nella configurazione non invertente riportato qui sotto.

integratore-non-invertente

Il circuito è composto da quattro resistenze

[math]R[/math]
uguali ed un condensatore e presenta una reazione sia negativa che positiva.
L'espressione di
[math]v_0[/math]
in funzione di
[math]v_i[/math]
si ricava con il metodo dell'equipotenzialità degli amplificatori operazionali, poi applichiamo il I° principio di Kirchhoff al morsetto non invertente e otteniamo:

[math]i=i_1+i_2=\frac{v_i-v_p}{R}+\frac{v_0-v_p}{R}=\frac{v_i+v_0-2v_p}{R}[/math]

però siccome:

[math]v_p=v_n=v_0\cdot \frac{R}{2R}=\frac{v_0}{2}[/math]

e quindi

[math]i=\frac{v_i}{R}[/math]
.

La tensione ai capi del condensatore

[math]v_p[/math]
ci da che:

[math]v_0=2\cdot v_p=\frac{2q}{C}=\frac{2}{C}\int_{0}^{t} i\left(t\right) dt=\frac{2}{RC}\int_{0}^{t} v_i\left(t\right) dt[/math]

Dopo aver applicato Laplace arriviamo allo stesso risultato e per ricavare il potenziale applichiamo Millmann al morsetto non invertente ed otteniamo:

[math]V_p=\frac{\frac{V_i}{R}+\frac{V_0}{R}}{\frac{1}{R}+s\cdot C+\frac{1}{R}}=\frac{V_i+V_0}{2+sRC}[/math]

Siccome

[math]V_p=V_n=\frac{V_0}{2}[/math]
abbiamo:

[math]V_0\cdot\left(2+sRC\right)=2\cdot\left(V_i+V_0\right)[/math]
da cui ricaviamo:

[math]V_0=\frac{2}{CR}\cdot\frac{V_i}{s}[/math]

se anti-trasformiamo ritroviamo la seguente formula:

[math]v_0=2\cdot v_p=\frac{2q}{C}=\frac{2}{C}\int_{0}^{t} i\left(t\right) dt=\frac{2}{RC}\int_{0}^{t} v_i\left(t\right) dt[/math]
.

Se si porta la seguente formula

[math]\left(V_0=\frac{2}{CR}\cdot\frac{V_i}{s}\right)[/math]
in regime sinusoidale e, si pone
[math]s=j\omega[/math]
troviamo:

[math]V_0=\frac{2\cdot V_i}{j\omega RC}[/math]

Notiamo che

[math]V_0[/math]
è in ritardo di
[math]90^\circ[/math]
rispetto a
[math]V_i[/math]
e come per la configurazione invertente il modulo aumenta al diminuire della sua frequenza.integratore-invertente
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la funzione principale di un circuito integratore nella configurazione invertente?

    2. Un circuito integratore nella configurazione invertente è utilizzato per eseguire operazioni di integrazione, dove la tensione di uscita [math]v_0(t)[/math] è proporzionale all'integrale della tensione di ingresso [math]v_i(t)[/math] nel tempo, come descritto dalla formula [math]v_0(t)=-\frac{1}{R\cdot C} \int_{0}^{t}v_i(t)dt[/math].

  2. Come si comporta la tensione di uscita [math]V_0[/math] rispetto alla tensione di ingresso [math]V_i[/math] in un circuito integratore non invertente?

    3. Nel circuito integratore non invertente, la tensione di uscita [math]V_0[/math] è in ritardo di [math]90^\circ[/math] rispetto a [math]V_i[/math], e la sua ampiezza aumenta al diminuire della frequenza di ingresso [math]\omega[/math], come evidenziato dalla formula [math]V_0=\frac{2\cdot V_i}{j\omega RC}[/math].

  3. Qual è l'importanza della trasformata di Laplace nei circuiti integratori?

    4. La trasformata di Laplace è fondamentale nei circuiti integratori poiché consente di analizzare il comportamento del circuito in frequenza, facilitando il calcolo delle relazioni tra le tensioni di ingresso e uscita, come mostrato nelle espressioni [math]V_0(j\omega)=-\frac{1}{j \omega RC}\cdot V_i[/math] e [math]V_0=\frac{2}{CR}\cdot\frac{V_i}{s}[/math].

Appunti correlati

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Vai al forum