Cinematica del Punto Materiale - Prima Lezione

Prima lezione

Martedì 26 febbraio 2019   08:30

Cinematica del punto materiale

Voglio determinare posizione, tempo, velocità, accelerazione di un punto materiale nel piano.

Bisogna sempre definire un sistema di riferimento.

1. (P - O) = P = xi + yj

2. P = xi + yj   dove i, j = 3.

Prima lezione

Cinematica del punto materiale

Voglio determinare posizione, tempo, velocità, accelerazione di un punto materiale nel piano.

Bisogna sempre definire un sistema di riferimento.

( − ) = _P = _i + _j

_P = _i + _j dove + = _u

Meccanica pagina 1

_xyFPrθOr_L

F = r · e^iθ

F = _r[ _x cos θ + i _y sin θ ] = _r[ cos θ + i sin θ ]

Secondo la formula di Eulero:

iθe^iθ = cos θ_L + i sin θ

Ne consegue che:

F = _r [ _x cos θ + _y i sin θ ] = _r[ cos θ + i sin θ ] = r·e^iθ

r = √_x² + _y²

θ = arctan ( _y / _x )

Quando il punto si muove, descrive nel piano una traiettoria.

Traiettoria: curva continua che definisce le posizioni successive occupate dal punto P mentre si muove.

Quindi, se X e Y evolvono nel tempo { x = x(t) y = y(t) }

Oppure come evolvono raggio e angolo: { r = r(t) θ }

Meccanica pagina 2

Oppure come evolvono raggio e angolo:

r = ρ(t)

θ = θ(t)

Ascissa curvilinea

γ = β(t)

s = s(t)

Oppure

z = g(θ)

s = s(t)

La prima riga indica la traiettoria.

La seconda riga indica la legge di moto.

Es. Moto circolare uniforme

x = R cos θ

y = R sin θ

ω = θ̇ = cos t

θ = ωt

Quindi, sostituendo:

x = R cos ωt

y = R sin ωt

Meccanica pagina 3

Quindi ho inserito la traiettoria a seconda del tempo.

Ricordo che l'equazione del cerchio è x² + y² = R².

Sapendo inoltre la legge oraria è: θ = ωt

Per trovare quindi in un istante dove si trova il punto:

{ x² + y² = R² θ = ωt }

Posso inoltre dire che:

⃗_P = ⃗_P(t) = P(δ(t))

Ovvero, la posizione dipende dal tempo, esattamente dalla legge oraria nel tempo.

Posso ora ragionare, data la posizione, sulla velocità del punto.

Velocità:

lim Δt → 0 Δ⃗_P(t) Δt = d⃗_P(δ(t)) dδ dP² d⃗_P ds d⃗_Pds² = lim Δs∞ ds²d²s² = lim Δs∞limdt⁰ = tφPP₀F(t)AF(t₀)φP₀F(t₀)P(F(t)FP(dφdsφPP₀F(t)lF(t₀)dφdsdφds+P₀)Fiddddφdφds√√F(t)dsP(F(t)dssqrt√dsddφΦldωFdφΦP(dsddtdsMPFΦP(PdsPP₀)ΦP₀)P(t)PPxyzpexyzsddωdsPdsdsdsPPP₀F(t)dF(t)φΦφdωdφdddsSSdsUdtXYZ(t⁰)dsddspPF(t)XYZdq...Xh√φP₀)XPppPP₀Pd[[[dφs[[HPP₀Serp^HdpqPpΦdsP₀xyzdsupφdωsPdqP_xyzsdsdsd√dsdΦsdsdsFdpsSdφxdxydpTxyzSgxSxyxyzxyzSdφxydxyzFxtxyxyzxyzFpPQSp

2. _r = _x + _iy, _x = ₃

3. _P = _z ^iθ => _r ^iθ = _{xiθ - i^iθ - 2iθ (θ^-1) y : y(x) ^{tan dr = dt}}

Meccanica pagina 6

Posso adesso valutare l’accelerazione del punto.

Accelerazione

d³r / dt³ = e _t versore tangente

a = d² / dt² (P) = d / dt d / dt (r) = d / dt (P_t + r) = d / ds d/ dt ds / dt (P(s(t))) = d² / ds² (s)

a = e _t + d / ds d / dt + e _u ^e _t n = e _t^nd a / ^dt n = e _t ^td² D²(s,t)

Il cerchio osculatore coincide quindi:

1. Il punto d / dtd² / ds² la curvatura (derivata seconda)

d² / ds² e _t d / dt d / ds d / dod² / dt² = d / dsds = d / dtd / dt ds / dt d / dtdA / d_t lim / ds = A^tlim / ds _{d / ds} A lim A^tXd²/ dt dA / dt²ds = ∫ d2

Meccanica pagina 7

dℓ = dℓ_τ ̄ + dℓ ̄

dℓ_τ = d z . ̄ ; dℓ = d g . ̄

ᾱ = s̄ ̄ + ṡ ̄

α = ²_τ / g

α = j . b̄

g = ²_τ / g

∼ È centripeta, mai centrifuga, non può mai essere negativa infatti, essendo quadrata.

Moto rettilineo ⟹ ̇ ⟹ ω = 0 ⟹ α → 0

Uniforme ⟹ ṡ cost ⟹ s̈ 0 ⟹ α = 0

j̄ = ̇ ̇ ẓ z

α = x̊ ẏ ẓ ż

Meccanica pagina 8