Cinematica del punto materiale
tn ≤ t2 ≤ t3
La linea è detta Traiettoria seguita dal corpo.
Le frecce indicano il Verso di percorrenza delle traiettorie.
Per individuare la posizione del corpo serve fissare un Sistema di riferimento → sistema cartesiano.
Sistema cartesiano: ha un'origine e tre direzioni ortogonali.
Posizione del pto nello spazio → terna di coordinate (x; y; z).
Legge oraria: legge che lega le coordinate x (spazio al rettilineo percorso) nel tempo, scrivo x(t).
- Traiettoria rettilinea.
- Origine è un punto sulla retta delle traiettorie.
- Direzione lungo la traiettoria.
- Verso positivo (arbitrario).
| t | x |
| t1 | x1 |
| t2 | x2 |
| t3 | x3 |
| tn | xn |
Velocità
Rapidità con cui il corpo si muove nello spazio.
In particolare definiamo la velocità media.
Vm = (x2 − x1) / (t2 − t1) = Δx / Δt = tg α (trigonom).
La velocità è il coefficiente angolare della retta congiungente.
Cinematica del punto materiale
t1 < t2 < t3
La linea è detta Traiettoria seguita dal corpo.
Le frecce indicano il Verso di percorrenza della traiettoria.
Per individuare la posizione del corpo serve fissare un Sistema di riferimento.
Sistema cartesiano: ha un'origine e tre direzioni ortogonali.
Posizione del pto nello spazio → terna di coordinate (x; y; z).
Legge oraria: legge che lega le coordinate x (spazio al realistitivo istruito) scrivo x(t).
- Traiettoria rettilinea.
- Origine è un punto sulla retta delle traiettorie.
- Direzione lungo la traiettoria.
- Verso positivo (arbitrario).
| t | x |
| t1 | x1 |
| t2 | x2 |
| t3 | x3 |
| tn | xn |
Velocità media e istantanea
Velocità: rapidità con cui il corpo si muove nello spazio.
In particolare definiamo le velocità media.
Vm = (x2 - x1) = Δx = x2/t2 + t1 Δt xn = tg α (trigonom).
La velocità è il coefficiente angolare delle rette congiungenti.
Legge oraria di un corpo che si muove nell'intervallo Δt cui velocità pari alla velocità media.
La retta è la legge oraria che approssima la traiettoria di un punto che si muove nello spazio (suppongo che V sia costante) → il punto è Vm fornisce un'inf. complessa, non vale da informazioni e cause ma → Immagino di ridurre l'intervallo Δt il segmento si approssimare sempre più al grafico della legge oraria per Δt →0.
NB → pensa alle derivate di derivate: il limite del rapporto incrementale → Δt e Δx sono diventati intervalli infinitesimi e il segmento AB diventa tangente al grafico della legge oraria.
Introduco la velocità istantanea: lim Δt → 0Vm = lim Δt → 0Δx/Δt = dx/dt = v → velocità istantanea.
Δx/Δt sarebbe Δx ma Δx e Δt sono infinitesimi.
v(t) = dx/dt = tang.t le velocità istantanee è la derivata della posizione nel tempo.
Utilizzazione al grafico della legge oraria nel punto C all'aumento del tempo la velocità diminuisce quindi il rapporto Δx/Δt è negativo.
Quindi il corpo si allontana si ferisce e poi torna uidiento.
x(t) = st2
V(t) = limΔt→0 Δx/Δt = limΔt→0 (s(t+Δt)2-st2)/Δt = limΔt→0 (st2 + sΔt2 + 2stΔt - st2)/Δt = limΔt→0 sΔt + 2st = 10t.
d(tn)/dt = ntn-1 → definizione di derivata → x'(t) = 10t.
NB * la x e t e x' e x cioè la posizione.
Problema universo della cinematica
Nota V(t) ? x(t)
Nuovo Δx = x2 - x1.
Vmi = Δxi / Δti.
Δxi = VmiΔti.
Δx = limΔt→0 ∑VmiΔti = ∫V(t) dt.
Δx = limΔt→0 ∑VmiΔti = ∫V(t) dt.
x(t2) - x(t1) = ∫t1t2 V(t) dt = ∫x(t1)x(t2) V(t) dt.
Per risolvere l'integrale devo trovare una primitiva di V(t) → dF(t)/dt = V(t).
E applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale: ∫t1t2 v(t')dt' = F(t2) - F(t1) = [F(t)]t1t2.
Moto rettilineo uniforme (MRU)
Velocità costante.
Legge oraria.
x(t) = x(t₀) + ∫t₀t V dt.
t(t) = t.
= x₀ + V [t]t₀t = x₀ + V(t - t₀).
MRU x(t) = x₀ + V(t - t₀) V(t) = V = costante.
Se t₀ = 0 e x₀ = 0 => x(t) = Vt.
Accelerazione
Rapidità di variazione della velocità nel tempo.
Am = ΔV/Δt.
A(t) = dV/dt = limΔt→0 (ΔV/Δt)(deriv.).
E la derivata seconda alla legge oraria:
A livello dimensionale:
Vm = Δx/Δt.
[V] = [L]/[T] = m/s.
Am = ΔV/Δt.
[a] = [L·T-1]/[T][T2] = [L]/[T2] = m/s2.
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Accelerazione costante.
VEL:
V(t) = V0 + ∫ a dt = V0 + a(t-t0).
X(t) = X0 + ∫t0t [V0 + a(t-t0)] dt = X0 + ∫t0t V0 dt + ∫t0t a(t-t0) dt.
X(t) = X0 + V0(t-t0) + 1/2 a(t-t0)2.
MRUA a = costante V(t) = V0 + a(t-t0) X(t) = X0 + V0(t-t0) + 1/2 a(t-t0)2.
Suppongo che t0 = 0, V0 = 0, X0=0 a = cost v = at x = 1/2 at2.
Moto armonico
x(t) = A cos(ωt + φ0).
[L] [L]
NB: analisi dimensionale e un termine adimensionale.
cos (ωt + φ0).
A è una lunghezza ed è detta ampiezza del moto.
L'angolo φ (t) è il rapporto tra l'arco sotteso e il raggio.
ωt + φ0 è detto fase iniziale.
ω = 1 / [T].
cos φ = cos (φ + 2π).
Δφ = 2π → è il periodo.
Δφ = 2π = ω (t + T) + φ0 = ω (wt + φ0) = = ψt + ωt + ψ0 - ωT - φ0 ⇒ 2π = ωT ⇒ 2π / ω ⇒ ω = 2π / T φ0 = 0.
x = A cos (ωt).
ν = d[ A cos (ωt) ] / dt = A d[ cos (ωt)] / dt = A(-sen ωt) ω = = -Aω sen (ωt).
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