Cinematica del punto

Cinematica

È lo studio del moto, ignorando le cause di esso.

Terna intrinseca ad una curva

Si consideri la curva regolare nello spazio 3D; serve fissare su essa un sistema di ascisse curvilinee: Sia O_s l'origine arbitrariamente fissata di r e P un pto generico della curva. S'imponga il verso positivo di percorrenza da O_s a P: tale si dice il verso degli archi crescenti. S'imponga s=0_OP ovvero s è la distanza di P da O_s. Chiaramente ∀ P e ∃!s: s=0_OP, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca tra i pti P di r e s. Quest'ultima si dice ascissa curvilinea di r e, per le considerazioni appena fatte, ha senso considerare P α P(s).

Si considerino adesso le derivate prima e seconda di P: poiché si conosce P in funzione di s dP/ds = lim_h->0 [P(s+h)-P(s)]/h calcolo differenziale vettoriale P(s+h)-P(s) è il vettore che congiunge i due pti separati da un arco lungo h.

Cinematica

È lo studio del moto, ignorando le cause di esso.

Teoria intrinseca ad una curva

Si consideri la curva più regolare γ nello spazio 3D; serve fissare su essa un sistema di ascisse curvilinee: α s L'origine arbitrariamente limitate olr e P un punto generico della γ curva. Si impone il verso positivo di percorrenza da O_α a P. Tale si dice il verso degli archi crescenti.

Si impone s=0,P, ovvero s è la distanza di P da O_α. Chiaramente ∀ P ∃ 1 s: s=0,P, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti P di γ e s. Quest’ultima si dice ascissa curvilinea di γ e, per la considerazione appena fatta, essa considera P∝P(s).

Si considerano adesso le derivate prima e seconda di P: poiché si conosce P in funzione di s dP/ds = lim_h→0 (P(s+h)-P(s))/h calcolo differenziale vettoriale P(s+h)-P(s) è il vettore che congiunge i due più separati da un arco lungo h.

=> Si ha che:

• P(s+h) - P(s) tende, per h->0, alla direzione tangenziale e in P(s).
• ^|dP|/_ds = lim_h->0 ^{|P(s+h) - P(s)|}/_|l|

Per h->0 si ha che: ^{|P(s+h) - P(s)|}/_|l| h->0 ~ 1 <=> norma del vettore tangente in P(s). [lim_x->0 ^{(sin x)}/_x] => ^dP/_ds = Consideriamo ora la derivata seconda: ^d2P/_ds² = d/ds = lim_h->0 ^{(s+h) - (s)}/_h.

Definizione: Si dice piano osculatore a nel pto P il piano individuato dai vettori normale e tangente a nel pto P stesso.

Si ha che t(s+ h) - t(s) giace sul piano individuato dalla tangente a r in P(s) e parallelo a t(s+ h). Tale piano per h => 0 tende al piano osculatore in P(s) (in effetti il tendere di h a O direzione così anche il piano ad esso parallelo).

=> consideriamo il piano normale a r, individuato dai vettori (normale) e (binormale ortogonale al piano osculatore) d=> t la direzione della d s retta individuata dai piani normale ed osculatore. Tale retta si dice normale principale a r in P(s).

Si può dimostrare che esiste una of, detta cerchio osculatore, tale da essere la migliore approssima circolare alla curva r in un intorno di P(s). Esso è contenuto nel piano osculatore e ed è centrato per un pto C sulla normale principale in P(s). Il raggio, di tale osf si dice raggio di curvatura di r in P, mentre lo scalare si definisce curvatura. Allora si ha che: dtd s = d2Pds2 = 1.

Osservazione: il versore binormale, per sua definizione è ortogonale sia a n che a t. Il suo verso viene scelto in modo tale per cui (t, n, b) sia una terna destra. La terna (t, n, b) si definisce intrinseca alla curva V.

Vettore spostamento

Si consideri un pto P di posizione variabile nel tempo rispetto ad un pto O, centro del sdr; si ha allora che P = P(t) (t-tempo), essa per definizione di ascissa curvilinea s si ha che \(SP varia al variare di t. Al pto P è associato il vettore P-O, detto vettore spostamento, perciò si ha che:

\(\overrightarrow{SP}\) = P(s) - O traiettoria \( \(p - o = P(t) - o\(p = (x, y, z)\)\(x = x(t), y = y(t), z = z(t) \ ) equazioni del moto.

Esse si possono scrivere sia in funzione della traiettoria che in funzione del tempo: es. di \(\{ p - o = P(s) - o \rightarrow\) traiettoria \(s = S(t) \rightarrow\) legge oraria.

Velocità

Definizione: Si definisce velocità scalare istantanea la derivata della funzione s(t) rispetto a t:

Osservazione: il rapporto è la velocità media fra gli istanti t+h, t.

Se ṡ(t) = cost, il moto è detto uniforme s(t) = ∫_t0^t ṡ(t) dt = s₀ + V₀ velocità iniziale: V₀ = ṡ(0) posizione iniziale: s₀ = s(0).

Il segno di ṡ(t) stabilisce la crescita o decrescenza di s(t): se ṡ(t) > 0 => moto diretto (s(t) crescente) se ṡ(t) moto retrogrado (s(t) decrescente).

Definizione: Si definisce velocità vettoriale istantanea la derivata del vettore spostamento. Un modo analogo alla velocita' scalare. Istantanea corrisponde al limite della velocita'. Vettoriale media per h ->0 di (P(t+h)-P(t).

Si consideri ora un pto P in movimento lungo una curva. Definito allora un sede di assi curvilinee si ha che: v(t) = |s(t)| |v(t)| = |s•(t)| |s•(t)| |T| = s•(t).

Consideriamo ora le curve γ in un sede cartesiano, allora si ha che: p-o = (x,y,z) vy(t) = ṏ(t) Vz(t) = Ŝ(t).

Accelerazione

Si dice accelerazione la derivata temporale della velocità vettoriale o anche la derivata temporale secondale del vettore spostamento:

Si ha che: Per: e_T = s̈ e_m_c = ṡ²/ρ_c n̲ a(t) è la somma vettoriale di 2 componenti: e_T = acc. tangenziale e̲_m_c = acc. centripeta (normale).

Per loro definizione a̲_T e a̲_m giacciono sul piano osculatore; a̲_m è parallelo e n̲ è disposto radialmente rispetto al cerchio osculatore a r̄~ in P(t).

I.e. che: se α_t = 0 => ṍ(t) = 0 => ṋ(t) = cost = v_o => s(t) = v_ot + s_o => moto uniforme se α_m = 0 => s̅² = 0 δ_cδ̅_c → +∞ (è rettilinea si assume p in movimento => s ≠ 0 α̅ = 0 il moto è rettilineo e uniforme.

Classificazione dei moti e le leggi orarie

Moto uniforme => ṋ(t) = cost e ṍ(t) = 0 moto rettilineo => s̅²/δ_c = 0 moto diretto => ṋ(t) > 0 moto retrogrado => ṋ(t) moto vario => ṍ(t) ≠ 0 moto accelerato => ṍṍ > 0 moto ritardato => ṍ ds̅²/dt > 0 ―ṋ― crescente ds̅²/dt 2 decrescente ―ṋ― decrescente moto uniformemente vario => ṍ(t) = cost moto uniformemente accelerato => ṍṍ > 0 e ṍ(t) = cost Moto uniformemente ritardato →  &suml;ṡ<0 e  &suml;s(t)=cost.

A. Si possono distinguere i moti anche in base alle loro legge orarie:

• S̄(t)=s₀+v̇t → moto uniforme.

Diagramma orario = retta(grafico).

• S̄(t)=₁/₂at²+v̇t+s₀ → moto uniformemente vario.

Diagramma orario parabola s̄(t)>0 → accelerato s̄(t)=cost ←³ s̄(t)<0 → ritardato.

• S̄(t)=A cos(ωt+ γ).

Diagramma orario = sinusoide A=ampiezza oscillazione ω = pulsazione γ = fase iniziale → quest'ultima è la legge che definisce il moto oscillatorio armonico. Si tratta di un moto periodico, ovvero tale per cui: ∃ T ∃ R : s̅(t+T)=s(t)   k∃Z; ∃t Tale numero T si dice periodo ed è il minimo numero per il quale s(t+T)=s(t) moto uniformemente ritardato ⇒ s¨s.

a) Si possono distinguere i moti anche in base alle loro leggi orarie:

• Sˉ(t) = s₀ + V · t → moto uniforme Diagramma orario: retta(grafico) sˉ(t) = ^a/₂ t² + V · t + s₀ → moto uniformemente vario.

Diagramma orario: parabola con a = s¨(t) = cost s˙(t) > 0 → accelerato s˙(t).

• Sˉ(t) = A cos(ωt + Γ).

Diagramma orario: sinusoide A = ampiezza d’oscillazione ω = pulsazione Γ = fase iniziale è quest’ultima è la legge che definisce il moto oscillatorio armonico. Si tratta di un moto periodico, ovvero tale per cui: t ∈ R : s(t+T) = s(t) ∀t k ∈ Z; ∀t tale numero T si dice periodo ed è il minimo numero per il quale s(t+T) = s(t).

Per questo moto si ha che: Ẁ(t) = -Aωsin(ωt + γ) Ṍ(t) = -Aω²cos(ωt + γ) = -ω² S(t) S(t) = Acos(ωt + γ) Ṍ(t) + ω²S(t) = 0.

Tale si dice equazione differenziale (del 2° ordine) associata al moto armonico. A ciascuno dei seguenti tre moti è associabile un'equazione differenziale.

• ⑳ S(t) = A e^-ρt cos(ωt + γ) → moto armonico smorzato (sottosmorzamento) Diagramma orario = sinusoide smorzata.
• ㉑ S(t) = C₁ e^-β₁t + C₂e^-β₂t → moto armonico sovrasmorzato(o aperiodico smorzato)  (esponenziali inverse) β₁, β₂ > 0.
• ㉒ S(t) = (C₁ + C₂) e^-βt → moto aperiodico criticamente smorzato  (esponenziali inverse).

Moto circolare

Definizione: è il moto di un oggetto in movimento lungo una traiettoria circolare.

Si considera il punto P in movimento lungo la circonferenza C di raggio R; si assume per il verso antiorario come verso degli angoli crescenti, allora i tassi di cambiamento di posizione e intrinseci di P (_Vr e _a) si scrivono come: _v(t) = _s'_{t a}(t) = _s''_t + _ṡ²_m.

Considerando che: _s(t) ≠ |_v(t)| _θ(t) ↔ _s(t) e _s = R_θ ⇒ _ṡ = R_θ̇ e _s̈ = R_θ̈ _θ̇ è un numero e si dice velocità angolare del punto P(t) _a(t) = R_θ̈_t + _ṡ²_{m v}(t) = R_θ̇_t.

Si consideri il vettore _k tale da formare una terna dx con _t e _m, allora si ha che: _v(t) = R_θ̇_t = R_θ̇_n × _k − c_Rθ̇_k × _m = _θ̇_k × (−R_m)_ẇ × (P-c).

Logicamente il vettore P-C è uguale al prodotto scalare fra il suo modulo R ed il versore m. ω è un vettore detto velocità angolare vettoriale ed è diretto perpendicolarmente al piano di rotazione.

Se la velocità di rotazione è costante si parla di moto circolare uniforme: S(t) = S₀ + V₀t ⇒ Θ(t) = S/R = S₀/R + V₀/Rt = Θ₀ + ω₀t Θ(t) = Θ₀ + ω₀t (analoga) Θ.

Legge oraria del moto uniforme V(t) = V₀ costante æ = S̈ t + R² ṁ = R² m̈ ()= S̈ t + R² ṁ = R² m̈ = æ_m Ṡc d[S₀ + v₀t]/d t = 0 æ. => QCC. radiale.

Definito il periodo T come il tempo impiegato per un’intera rivoluzione si ha che: T = 2πR/V₀ = 2π/ω₀.