Campi e Circuiti

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Author: Lociano94

Revisionato il 04/09/2026

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Elementi di analisi vettorialeTeorema di unicità di Helmholtz. Teorema di reciprocità di Green. Problema al contorno: formulazioni in campo e in potenziale.Vettori descrittivi e …

Esame Campi e circuiti

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Di Barba Paolo

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2016-2017

76 pagine

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Campo vettoriale e teorema di von Helmholtz

Campo vettoriale

Teorema di von Helmholtz

Campo vettoriale V = (V_x(x,y,z), V_y(x,y,z), V_z(x,y,z))

Le componenti del campo sono funzioni del punto.

P ∈ Ω

Ω ⊆ R³

∂Ω borda di Ω

Γ = ∂Ω

V è univocamente definito se si conoscono:

{ ∇⋅V = Δ(x,y,z), ∇×V = Ξ(x,y,z) }

Sottoposto che il campo tende a estinguersi verso l'infinito (||V|| → 0, r → ∞).

V₀ ∈ h(x,y,z,t) nello spazio di Rⁿ.

In totale ho 3 funzioni s, c e h.

Δ = ∇⋅V

c = ∇×V

h = ∇²m

Dimostrazione per assurdo

Suppongo V₂/V₁ = ...

W = ∇₂−V₁ in Ω.

∇⋅W = 0 in Ω
∇×W = 0
W·m = 0 in Ω

2) W₂ = ∇ψ detto se Ω semplicemente connesso.

La butto in ( ).

Campo vettoriale e teorema di von Helmholtz

Campo vettoriale V = (V_x(x,y,z), V_y(x,y,z), V^z(x,y,z))

Le componenti del campo sono funzioni del punto.

P ∈ Ω

Ω ⊆ R³

V è univocamente definito se si conosce:

∇ · V = δ(x,y,z)

∇ x V = ξ(x,y,z)

Supponiamo che il campo tende a estinguersi verso l'infinito (||V|| → 0).

V ∈ ah(x,y,t) nello spazio di R.

In totale ho 3 funzioni: δ, ξ, h.

Δ = ∇ · ∇ · V

c = ∇ x V

h = V · m

Dimostro per assurdo

Suppongo V₂ ≠ V₁.

W = ∇₂ - ∇₁

1^o ∇ · W = 0 in Ω
2^o ∇ x W = 0
3^o W · m = 0 in Ω

w = ∇φ detto se Ω semplicemente connesso.

La butto in:

-∇⋅∇ψ ≠ 0

Meno perdite convettive degli utilizzatori (dei tubi nelle maggiore di minore).

-∇⋅∇ è il Laplaciano.

∇² = (∂²/∂x²) + (∂²/∂y²) + (∂²/∂z²)

-∇⋅∇ψ = ∇²ψ = (∂²ψ/∂x²), (∂²ψ/∂y²), (∂²ψ/∂z²) = 0

Bilancio integrale di ψ ∇ψ

Applico il bilancio integrale di ψ ∇ψ.

Flusso uscente.

∫_Ω (ψ | ∇ψ ⋅ m) dΓ = ∫_Ω ∇ ⋅ (ψ ∇ψ) dr = = ∫_Ω (∇ψ⋅∇ψ + ψ ∇²ψ) dr = 0 per ipotesi.

Allora ∇ψ = 0.

Allora V₁ = V₂ in Ω.

La soluzione esiste ed è unica per ogni valore di s, c, h.

Applico Gauss a V_n in ω per vedere se ci sono legami tra esse.

∫_Ω V _n dΓ = ∫_ω ∇V dr

∫_ω h dΓ = ∫_ω s dr sono leghe, do questo bianco.

Guardo eta: c deve essere un campo a divergenza nulla, cioè che le linee di forza sono chiuse.

∇⋅c = 0

Esempio: densità di corrente, deve essere chiusa, se no non passa corrente.

Spazi semplicemente connessi

In che spazi semplicemente connessi?

Se c = 0 in ∇² ∇ x v = 0, posso dire che v = ∇ψ?

∮ v ⋅ d = 0 se fosse vero che v = ∇ψ.

Verifica con bilancio integrale di Stokes.

Se ∇ × v = 0 allora ∮ v ⋅ d = 0 non vero, perché c'è il buco.

Allora si ha ∮ ∇ ⋅ d = ∫ s dσ.

Nota due buchi.

Se ∇ i = c, ∫ ∇ ⋅ dσ = ∫ doppio c ⋅ ndσ = 0.

Torna linea entrata, torna escono.

r₁, t₂ = rΦ(c)|n₁ + Φ(c)|n₂ = Φ(c)|n₁ - 0.

Allora, se prendo l'insieme in qualsiasi numero di sottinsiemi, in nessun contorno di Φ(C)|_Γk = costante.

Esempio: prima sezione triangolare

Qual è il flusso di C attraverso S₂? Φ(C)|_S2?

Dove utilizzerò gli angoli, ma posso dire che:

Φ(C)|_S3 = 0 perché ⊥

Φ(C)|_S1 = ∫ cos θ ds₁ • c_S₁ (perché mi-parallelo).

Allora |Φ(C)|_S2 = |Φ(C)|_S1 => Φ(C)|_S2 = c • S₂.

Leggi nel campo magnetico.

Problema dei valori al contorno

Tipico problema del campo magnetico.

^(Progetto) _Sorgente

^(Gauss) _{Classe y}

^(Equilibrio) _{Determinazione densità}

^(Stokes) _Relazi

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