Gruppi campi

Gruppi

Sono note allo studente alcune operazioni elementari sugli insiemi numerici; ad esempio l’addizione e la moltiplicazione su N, Z, Q, R, C. Ciò che tali operazioni hanno in comune è il seguente fatto: ad ogni coppia di numeri viene associato un altro numero (il risultato dell’operazione). Questa semplice osservazione è alla base della seguente definizione di operazione su un insieme.

Definizione 1

Sia A un insieme non vuoto. Sia A × A = { (a, b), ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A } il prodotto cartesiano di A per se stesso. Ogni applicazione * : A × A → A è detta operazione su A. L’operazione * associa quindi ad ogni coppia (a, b) ∈ A × A la sua immagine *(a, b), che, per semplificare le notazioni, denoteremo con a * b. L’operazione * è detta:

• Associativa, se risulta: a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ A;
• Commutativa, se risulta: a * b = b * a, ∀ a, b ∈ A.

Inoltre:

• L’operazione * ammette elemento neutro e ∈ A, se risulta: a * e = e * a = a, ∀ a ∈ A;
• L’operazione * ammette reciproco (o opposto o inverso) di ogni elemento se verifica (iii) e se per ogni a ∈ A esiste a' ∈ A [dipendente da a] tale che a * a' = a' * a = e.

Esempio 1

È evidente che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni su N, Z, Q, R, C verificanti le proprietà (i), (ii), (iii) [con 0 elemento neutro dell’addizione e 1 elemento neutro della moltiplicazione]. Relativamente alla proprietà (iv) si osserva subito che:

Gruppi

Sono note allo studente alcune operazioni elementari sugli insiemi numerici; ad esempio l’addizione e la moltiplicazione su N, Z, Q, R, C. Ciò che tali operazioni hanno in comune è il seguente fatto: ad ogni coppia di numeri viene associato un altro numero (il risultato dell’operazione). Questa semplice osservazione è alla base della seguente definizione di operazione su un insieme.

Definizione 1

Sia A un insieme non vuoto. Sia A × A = {(a, b), ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A} il prodotto cartesiano di A per se stesso. Ogni applicazione ∗ : A × A → A è detta operazione su A. L’operazione ∗ associa quindi ad ogni coppia (a, b) ∈ A × A la sua immagine ∗(a, b), che, per semplificare le notazioni, denoteremo con a ∗ b. L’operazione ∗ è detta:

• Associativa, se risulta: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ A;
• Commutativa, se risulta: a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ A.

Inoltre:

• L’operazione ∗ ammette elemento neutro e ∈ A, se risulta: a ∗ e = e ∗ a = a, ∀ a ∈ A;
• L’operazione ∗ ammette reciproco (o opposto o inverso) di ogni elemento se verifica (iii) e se per ogni a ∈ A esiste a’ ∈ A [dipendente da a] tale che a ∗ a’ = a’ ∗ a = e.

Esempio 1

È evidente che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni su N, Z, Q, R, C verificanti le proprietà (i), (ii), (iii) [con 0 elemento neutro dell’addizione e 1 elemento neutro della moltiplicazione]. Relativamente alla proprietà (iv) si osserva subito che:

• (a) L'addizione verifica la proprietà (iv) su Z, Q, R, C [il reciproco (o, più propriamente, l'opposto) di a è –a] ma non su N [infatti 1 non ha opposto in N].
• (b) La moltiplicazione non verifica la proprietà (iv): infatti 0 non ha reciproco. Ci chiediamo ora cosa avviene se eliminiamo 0. Per A = N, Z, Q, R, C, denotiamo A – {0} con A*. È evidente che la moltiplicazione verifica la proprietà (iv) come operazione su Q*, su R* e su C* [il reciproco (o, meglio, l'inverso) di a è a^-1 = ¹/_a]; ma non su N* e su Z* [infatti ad esempio 2 non ha inverso in N* o Z*].

Veniamo ora alle altre due operazioni elementari: sottrazione e divisione. È evidente che la sottrazione è un'operazione su Z, Q, R, C (ma non lo è su N) e che la divisione è un'operazione soltanto su Q*, R*, C*. Entrambe le operazioni non verificano alcuna delle proprietà (i), (ii), (iii), (iv).

Esempio 2

Sia A un insieme non vuoto. Denotiamo con F(A) l'insieme di tutte le applicazioni di A in sé. Ricordiamo che, ∀ f, g ∈ F(A), si chiama composizione (o prodotto operatorio) di f e g l'applicazione g○f ∈ F(A) così definita:

(g○f)(a) = g(f(a)), ∀ a ∈ A.

Resta pertanto definita l'operazione di composizione di applicazioni:

○ : F(A) × F(A) → F(A)

tale che:

(f, g) → g○f.

Tale operazione verifica le proprietà (i) e (iii), cioè è associativa [semplice verifica] ed ammette elemento neutro [che è l'applicazione identica (o identità di A): 1_A : A → A tale che 1_A(a) = a, ∀ a ∈ A].

Limitiamoci ora a considerare le applicazioni biunivoche (o biezioni) su un insieme A e denotiamo con S(A) l'insieme di tali applicazioni. Poiché la composizione di due biezioni è ancora una biezione [semplice verifica], l'operazione ○ si può restringere ad S(A) e dunque è definita l'operazione:

○ : S(A) × S(A) → S(A)

(composizione di applicazioni biunivoche). Tale operazione verifica, oltre alle proprietà (i) e (iii), anche la proprietà (iv). Infatti, assegnata f ∈ S(A) e definita l'applicazione g : A → A tale che:

g(a) = b ⇔ f(b) = a, ∀ a ∈ A,

si verifica subito che g ∈ S(A) e che g○f = f○g = 1_A [cioè g è l'elemento reciproco di f]. L'applicazione g è usualmente denotata con f^-1 ed è detta applicazione inversa di f.

Con facili esempi si verifica che in generale la composizione di applicazioni (anche biunivoche) non è un'operazione commutativa (cfr. Eserc. 3).

Gli esempi precedenti ci introducono al concetto di gruppo, cioè un insieme dotato di un'operazione verificante le proprietà (i), (iii) e (iv). Riformuliamo questa definizione.

Definizione 2

Sia A un insieme non vuoto. Sia * un'operazione su A. La coppia (A, *) è un gruppo se valgono i tre seguenti assiomi:

(G₁) a * (b * c) = (a * b) * c,   ∀ a, b, c ∈ A   [proprietà associativa].

(G₂) ∃ e ∈ A [elemento neutro di A] tale che a * e = e * a = a,   ∀ a ∈ A.

(G₃) ∀ a ∈ A, ∃ a' ∈ A [reciproco di a] tale che a * a' = a' * a = e.

Il gruppo (A, *) è detto gruppo commutativo se vale l'ulteriore assioma:

(G₄) a * b = b * a,   ∀ a, b ∈ A   [proprietà commutativa].

Osservazione 1

(i) È immediato verificare che in un gruppo (A, *) l'elemento neutro e ed il reciproco a' di ogni elemento a ∈ A sono unici. Infatti, se e, e' sono due elementi neutrali di A, risulta:

e' = e * e' = e' * e,   e = e' * e = e * e'.

Ne segue che e = e'. Se poi a', a'' sono due reciproci di a, risulta:

a' = a' * e = a' * (a * a'') = (a' * a) * a'' = e * a'' = a''.

Una conseguenza immediata di tale unicità è la seguente formula (la cui verifica è lasciata al lettore):

(a * b)' = b' * a',   ∀ a, b ∈ A.

(ii) In (A, *) valgono le seguenti regole di cancellazione (o di semplificazione) a sinistra e a destra:

a * b = a * c ⇔ b = c,   a * b = c * b ⇔ a = c,   ∀ a, b, c ∈ A. Proviamo la prima [e per la seconda si proceda in modo analogo]. Denotato, al solito, con a' il reciproco di a, si ha:

b = e * b = (a' * a) * b = a' * (a * b) = a' * (a * c) = (a' * a) * c = e * c = c.

(iii) Spesso i gruppi vengono presentati con notazione additiva [l'operazione viene indicata con +, l'elemento neutro con 0 ed il reciproco di a con -a (ed è chiamato opposto)] ovvero con notazione moltiplicativa [l'operazione viene indicata con ·, l'elemento neutro con 1 ed il reciproco di a con a^-1 oppure ¹⁄_a (ed è chiamato inverso)]. Tradizionalmente i gruppi presentati con notazione additiva vengono supposti commutativi.

Esempio 3

(ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, +), (ℂ, +), (ℚ*, ·), (ℝ*, ·), (ℂ*, ·) sono esempi di gruppi commutativi.