Appunti calcolo numerico: metodi e software
Politecnico di Torino
Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea: Ingegneria Aerospaziale
Docenti: Letizia Scuderi
Rappresentazione floating-point
a = (-1)s p Nq
s ∈ {0,1}
p ≥ 0 ∈ ℝ
q intero
N base del sistema di numerazione
N⁻¹ ≤ p < 1 ⇒ 1a cifra di p dopo punto decimale ≠ 0
Se si rispetta la condizione ⇒ NORMALIZZATAp e q univocamente determinato
MANTISSA ESPONENTE o CARATTERISTICA
di a, s, p e q individuano univocamente il numero reale a
Calcolatore e spazio finito di memoria
p possono avere max t cifre
q soddisfare [Le0] L ≤ q ∈ U [U0]
NON TUTTI I REALI sono esattamente RAPPRESENTABILI su un calcolatore
Numero con p e q esattamente rappresentabile nello spazio asserviti del calcolatore
Numeri di macchina
F = {0} ∪ {(-1)s0.q₁q₂...qtN⁹, 0 ≤ r < N, at ≠ 0, L ≤ q ∈ U}
insieme dei numeri del macchina
m = 0.q₁0...0 NL
L è l'unità definendo numero più piccolo positivo t cifre
(-m, m) REGIONE di UNDERFLOW ⇒ Approssimato con 0
M = (0, [N-1] [N-1] ... [N-1])Nu
φ ∈ U => limita numero più grande positivo e negativo
(-∞, -M) ∪ (M, +∞) REGIONE DI OVERFLOW => Approssimato con (± inf)
Arrotondamento "rounding to even"
ρapp → ρ̅
Q = (-1)s ρNq
Q̅ = (-1)s ρ̅ N̅q̅
ρ = 0.a1 a2 ... at at+1 ... au
ρ ∈ (ρ̅1, ρ̅2)
ρ̅1 = 0.a1 a2 ... at
ρ̅2 = ρ̅1 + N-t
ρ̅ = ρ̅1, se ρ ∈ (ρ̅1, (ρ̅1 + ρ̅2)/2)
ρ̅2, se ρ ∈ ((ρ̅1 + ρ̅2)/2, ρ̅2) oppure ρ = (ρ̅1 + ρ̅2)/2 pari at+1 dispari at+1
Q̅ numero del macchina corrispondente ad a ∈ {a̅ = Qa̅ ≉ Q => Si commette ERRORE
Errore di arrotondamento
ρa = |x - x̂| ERRORE ASSOLUTO
ρr = |x - x̂| / |x| x ≠ 0 ERRORE RELATIVO -> Informazione più REALISTICA
L'errore commesso nel sostituire il reale x ≠ 0 con il corrispondente numero del macchina a̅
In un calcolatore non è possibile eseguire esattamente operazioni aritmetiche (+, -, ×, /)
È possibile le oper. au macchina (⊕, ⊖, ⊗, ⊙)
L'operazione au macchina ⊙ associa a due num. di macchina, un terzo ottenuto arrotondando l'esatto risultato dell'operazione ᵢ ⊙ ₗ = ᵢ ⋅ ₗ = (ᵢ ⋅ ₗ)(1 + ₀) Una delle 4 oper. ₀ ∉ ℯₘ
Proprietà valide
- Commutativa ⊕⊙ ᵢ ⊕ ₗ = ₗ ⊕ ᵢ
- Commutativa ⊗ ᵢ ⊗ ₗ = ₗ ⊗ ᵢ
Proprietà non valide
- Associativa ⊕ ᵢ ⊕ (₂ ⊕ ₃) ≠ (ᵢ ⊕ ₂) ⊕ ₃
- Associativa ⊗ ᵢ ⊗ (₂ ⊗ ₃) ≠ (
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